2019-2020年高二上学期期末考试数学（理）试卷含解析.doc

2019-2020年高二上学期期末考试数学（理）试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知命题p：aR，函数y=ax是单调函数，则p（）AaR，函数y=ax不一定是单调函数BaR，函数y=ax不是单调函数CaR，函数y=ax不一定是单调函数DaR，函数y=ax不是单调函数2ABC顶点A（2，3），B（0，0），C（4，0），则“方程x=2”是“BC边上中线方程”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知数列an是等比数列，命题p：“若公比q1，则数列an是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为（）A4B3C2D14在相距2km的A、B两点处测量目标点C，若CAB=75，CBA=60，则B、C两点之间的距离为（）ABCD5已知an是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，则数列|log2an|前10项和为（）A58B56C50D456已知双曲线C：=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（）ABCD7已知长方体ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）ABCD8若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为8，则k=（）A2B2C3D39已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值（）ABCD10已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11不等式|2x+1|x1|2的解集为12已知正方体ABCDABCD的棱长为1，设，则=13已知等差数列an中，满足S3=S10，且a10，Sn是其前n项和，若Sn取得最大值，则n=14在直三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，AA=a，则直线AB与侧面AC所成角的正切值为15下列四种说法：垂直于同一平面的所有向量一定共面；等差数列an中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为；已知a0，b0，a+b=1，则的最小值为5+2；在ABC中，已知，则A=60正确的序号有二、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（）求角B的大小；（）若b=，a+c=4，求ABC的面积17已知命题P：在R上定义运算：xy=（1x）y不等式x（1a）x1对任意实数x恒成立；命题Q：若不等式2对任意的xN*恒成立若PQ为假命题，PQ为真命题，求实数a的取值范围18已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且（）求此抛物线C的方程；（）过点（4，0）做直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OAOB19如图，已知AB平面BCE，CDAB，BCE是正三角形，AB=BC=2CD（）在线段BE上是否存在一点F，使CF平面ADE？（）求证：平面ABE平面ADE；（）求二面角BDEA的余弦值20已知数列an的前n项和Sn，满足Sn=a（Snan+1）（a为常数，且a0），且4a3是a1与2a2的等差中项（）求an的通项公式；（）设bn=（2n+1）an，求数列bn的前n项和Tn21已知椭圆=1（ab0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为（）求椭圆的方程；（）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；（2）是否存在这样的直线l，使SABO的最大值为（其中O为坐标原点）？若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由xx学年山东省威海市文登市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知命题p：aR，函数y=ax是单调函数，则p（）AaR，函数y=ax不一定是单调函数BaR，函数y=ax不是单调函数CaR，函数y=ax不一定是单调函数DaR，函数y=ax不是单调函数考点： 命题的否定专题： 简易逻辑分析： 利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答： 解：已知命题是全称命题，所以命题p：aR，函数y=ax是单调函数，则p：aR，函数y=ax不是单调函数故选：D点评： 本题开采煤炭的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查2ABC顶点A（2，3），B（0，0），C（4，0），则“方程x=2”是“BC边上中线方程”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义解决直线方程的求解进行判断即可解答： 解：ABC顶点A（2，3），B（0，0），C（4，0），B，C的中点坐标为D（2，0），则中线AD的方程为x=2，即“方程x=2”是“BC边上中线方程”充要条件，故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3已知数列an是等比数列，命题p：“若公比q1，则数列an是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为（）A4B3C2D1考点： 四种命题专题： 简易逻辑分析： 根据题意，写出命题p与它的逆命题，否命题和逆否命题，再判定它们是否为真命题解答： 解：原命题p：“在等比数列an中，若公比q1，则数列an是递增数列”，例如，当数列为，2，4，8，q=2，但是数列为递减数列，故原命题为假命题；逆命题是：“在等比数列an中，若数列an递增数列”，则“公比q1”，例如，当数列为，1，q=，但是数列为递增数列，是假命题；否命题是：“在等比数列an中，若公比q1，则数列an不是递增数列，是假命题；逆否命题是：“在等比数列an中，若数列an不是递增数列”，则“公比q1”，是假命题；综上，命题p及其逆命题，否命题和逆否命题中，假命题有4个故选：A点评： 本题考查了四种命题的关系以及命题真假的判定问题，解题时应弄清楚四种命题的关系是什么，根据递增数列的定义判断命题的真假，是基础题4在相距2km的A、B两点处测量目标点C，若CAB=75，CBA=60，则B、C两点之间的距离为（）ABCD考点： 解三角形的实际应用专题： 计算题；解三角形分析： 由题意，ACB=45，则由正弦定理可得BC=，即可得出结论解答： 解：由题意，ACB=45，则由正弦定理可得BC=+1（km），故选：B点评： 本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础5已知an是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，则数列|log2an|前10项和为（）A58B56C50D45考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 由an是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，求出q，可得an=272n，再求数列|log2an|前10项和解答： 解：an是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，=，1+q3=，q=an=272n，|log2an|=|72n|，数列|log2an|前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故选：A点评： 本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础6已知双曲线C：=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（）ABCD考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由题意可得双曲线的c=5，运用双曲线的渐近线方程可得b=2a，再由a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程解答： 解：由题意可得双曲线的c=5，由双曲线的渐近线方程y=x，则2=，又c2=a2+b2，解得a=，b=2则双曲线的方程为=1故选A点评： 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题7已知长方体ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）ABCD考点： 空间向量的数乘运算专题： 空间向量及应用分析： 根据长方体的性质以及向量垂直的性质解答线段不垂直，对应的向量的数量积一定不为0解答： 解：对于A，如果长方体为正方体，则线段AD1B1C，此时成立；对于C，因为长方体中AB侧面AD1，所以，所以成立；对于D，如果长方体的底面ABCD是正方形，则ACBD，由三垂线定理可得ACBD1，所以此时；故选B点评： 本题考查了长方体的性质以及向量垂直的性质比较基础8若变量x，y满足约束条件且z=3x+y的最小值为8，则k=（）A2B2C3D3考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为8，建立条件关系即可求出k的值解答： 解：目标函数z=3x+y的最小值为8，y=3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为1，则平面区域位于直线y=3x+z的右上方，即3x+y=8，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为8，由，解得，即A（2，2），同时A也在直线x+k=0时，即2+k=0，解得k=2，故选：A点评： 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=3x+y的最小值为8，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键9已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值（）ABCD考点： 异面直线及其所成的角专题： 空间角分析： 取OC中点E，连结DE，则DEAC，从而BDE是异面直线BD与AC所成角，由此能求出异面直线BD与AC所成角的余弦值解答： 解：四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，取OC中点E，连结DE，DEAC，BDE是异面直线BD与AC所成角，BD=BE=，DE=，cosBDE=故选：C点评： 本题考查异面直线BD与AC所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用10已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）ABCD考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设切点为M，连接OM、PF1，通过已知条件可得|PF1|=2b、PF1PF2，进而可得|PF2|=2，利用椭圆的定义便得到2b+2=2a，化简即可得到b=，根据离心率的计算公式即可求得离心率e解答： 解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2，M，O分别是PF2，F1F2的中点，MOPF1，且|PF1|=2|MO|=2b，OMPF2，PF1PF2，|F1F2|=2c，|PF2|=2，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，2b+2=2a，ab=，两边平方得：a22ab+b2=c2b2，c2=a2b2，并代入并化简得：2a=3b，b=，a=1，c=，e=，即椭圆的离心率为，故选：D点评： 本题考查中位线的性质、圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c2=a2b2，椭圆离心率的计算公式，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11不等式|2x+1|x1|2的解集为（，4）（，+）考点： 绝对值不等式的解法专题： 计算题；分类讨论；不等式的解法及应用分析： 通过对x分类讨论当x1时，当x1时，当x时，去掉绝对值符号即可得出解答： 解：当x1时，|2x+1|x1|=2x+1（x1）=x+2，x+22，解得x0，又x1，x1；当x1时，原不等式可化为2x+1+x12，解得x，又x1，x1；当x时，原不等式可化为2x1+x12，解得x4，又x，x4综上可知：原不等式的解集为（，4）（，+）故答案为：（，4）（，+）点评： 本题考查绝对值不等式的解法，熟练掌握分类讨论思想方法是解含绝对值的不等式的常用方法之一12已知正方体ABCDABCD的棱长为1，设，则=考点： 空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算专题： 空间向量及应用分析： 取CC1中点E，连结AC，AE，结合正方体的结构特征，利用向量加法三角形法则得到=，再利用勾股定理能求出的值解答： 解：取CC1中点E，连结AC，AE，正方体ABCDABCD的棱长为1，设，则=，=|=故答案为：点评： 本题考查向量和的模的求法，是基础题，解题时要注意空间向量加法的三角形法则的合理运用13已知等差数列an中，满足S3=S10，且a10，Sn是其前n项和，若Sn取得最大值，则n=6或7考点： 等差数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意易得a7=0，进而可得数列an中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，易得结论解答： 解：等差数列an中，满足S3=S10，且a10，S10S3=7a7=0，a7=0，递减的等差数列an中，前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，Sn取得最大值，n=6或7故答案为：6或7点评： 本题考查等差数列前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题14在直三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，AA=a，则直线AB与侧面AC所成角的正切值为考点： 直线与平面所成的角专题： 计算题；空间角分析： 取AC的中点D，连接BD，AD，由线面垂直的性质和判定定理，得到BD平面AC，则BAD即为直线AB与侧面AC所成的角，再由解直角三角形的知识，即可得到所成角的正切值解答： 解：取AC的中点D，连接BD，AD，则由底面边长为a的正三角形，得，BD=a，BDAC，在直三棱柱中，AA底面ABC，则AABD，即有BD平面AC，则BAD即为直线AB与侧面AC所成的角，在直角三角形BAD中，BD=a，AD=a，则tanBAD=故直线AB与侧面AC所成角的正切值为故答案为：点评： 本题考查线面垂直的判定和性质定理及运用，考查空间直线与平面所成的角的求法，考查运算能力，属于中档题15下列四种说法：垂直于同一平面的所有向量一定共面；等差数列an中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为；已知a0，b0，a+b=1，则的最小值为5+2；在ABC中，已知，则A=60正确的序号有考点： 命题的真假判断与应用专题： 计算题；等差数列与等比数列；解三角形；不等式的解法及应用分析： 运用线面垂直的性质定理，及平行向量共面，即可判断；运用等差数列的通项公式和等比数列的性质，即可求得公比，进而判断；运用1的代换，化简整理运用基本不等式即可求得最小值，即可判断；运用正弦定理和同角的商数关系，结合内角的范围，即可判断解答： 解：对于垂直于同一平面的所有向量一定平行，而平行向量共面，则正确；对于等差数列an中，a1，a3，a4成等比数列，则有a32=a1a4，即有（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得a1=4d或d=0，则公比为 =1或 ，则错误；对于，由于a0，b0，a+b=1，则 +=（a+b）（+）=5+5+2=5+2，当且仅当b=a，取得最小值，且为5+2，则正确；对于，在ABC中，=即为=，即tanA=tanB=tanC，由于A，B，C为三角形的内角，则有A=B=C=60，则正确综上可得，正确的命题有故答案为：点评： 本题考查正弦定理的运用，考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题和易错题二、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（）求角B的大小；（）若b=，a+c=4，求ABC的面积考点： 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用专题： 计算题；解三角形分析： （）由已知根据三角函数中的恒等变换应用可解得，从而得即可求B的值（）由余弦定理可得ac=1，代入三角形面积公式即可得解解答： 解：（）由已知得，即有，（2分）sinA0，cosB0，（4分）B（0，），（6分）（）由b2=a2+c22accosB=（a+c）22ac（1+cosB），ac=1，（10分）（12分）点评： 本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式的应用，三角函数中的恒等变换的应用，属于基础题17已知命题P：在R上定义运算：xy=（1x）y不等式x（1a）x1对任意实数x恒成立；命题Q：若不等式2对任意的xN*恒成立若PQ为假命题，PQ为真命题，求实数a的取值范围考点： 复合命题的真假专题： 简易逻辑分析： （1）由题意知，x（1a）x=（1x）（1a）x，若命题P为真，（1a）x2（1a）x+10对任意实数x恒成立，对1a分类讨论：当1a=0时，直接验证；当1a0时，解出即可（2）若命题Q为真，不等式2对任意的xN*恒成立，可得（x2+ax+6）2（x+1）对任意的xN*恒成立，即对任意的xN*恒成立，利用基本不等式的性质即可得出由于PQ为假命题，PQ为真命题，可得P，Q中必有一个真命题，一个假命题解答： 解：（1）由题意知，x（1a）x=（1x）（1a）x，若命题P为真，（1a）x2（1a）x+10对任意实数x恒成立，当1a=0即a=1时，10恒成立，a=1； 当1a0时，3a1，综合得，3a1若命题Q为真，x0，x+10，则（x2+ax+6）2（x+1）对任意的xN*恒成立，即对任意的xN*恒成立，令，只需af（x）max，当且仅当，即x=2时取“=”a2PQ为假命题，PQ为真命题，P，Q中必有一个真命题，一个假命题若P为真Q为假，则，3a2，若P为假Q为真，则，a1，综上可得a取值范围：3a2或a1点评： 本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法、很残酷问题的等价转化方法、分类讨论思想方法、基本不等式的性质、不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题18已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且（）求此抛物线C的方程；（）过点（4，0）做直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OAOB考点： 抛物线的简单性质专题： 平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）设抛物线C：y2=2px（p0），点A（2，y0），代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得OAOB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证解答： （）解：设抛物线C：y2=2px（p0），点A（2，y0），则有，p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；（）证明：当直线l斜率不存在时，此时l：x=4，解得A（4，4），B（4，4），满足，OAOB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x4），联立方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x24k2（x1+x2）+16k2=16（1+k2）32k216+16k2=0，即有OAOB综上，OAOB成立点评： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，和向量垂直的条件，属于中档题19如图，已知AB平面BCE，CDAB，BCE是正三角形，AB=BC=2CD（）在线段BE上是否存在一点F，使CF平面ADE？（）求证：平面ABE平面ADE；（）求二面角BDEA的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）取BE的中点F、AE的中点G，连结FG、GD、CF，利用三角形中位线定理即得结论；（）通过线面垂直判定定理可得DG平面ABE，进而由面面垂直判定定理即得结论；（）以BC，BA所在射线分别为x，z轴，以垂直于BC所在线为y轴建立直角坐标系所求值即为平面BDE的法向量与平面ADE的法向量的夹角的余弦值的绝对值解答： （）结论：当F为BE的中点时，CF平面ADE理由如下：取BE的中点F、AE的中点G，连结FG、GD、CF，GF=AB，GFAB，DC=AB，CDAB，CD平行且等于GF，CFGD是平行四边形，CFGD，又CF平面ADE，DG平面ADE，CF平面ADE；（）证明：CFBF，CFAB，CF平面ABE，CFDG，DG平面ABE，DG平面ADE，平面ABE平面ADE；（）解：以BC，BA所在射线分别为x，z轴，以垂直于BC所在线为y轴建立直角坐标系，如图设AB=BC=2CD=2，B（0，0，0），D（2，0，1），A（0，0，2），设平面BDE的法向量为，设平面ADE的法向量，由图知，二面角BDEA的平面角为锐角，二面角BDEA的余弦值为点评： 本题考查线面平行、面面垂直的判定以及二面角的余弦值，注意解题方法的积累，属于中档题20已知数列an的前n项和Sn，满足Sn=a（Snan+1）（a为常数，且a0），且4a3是a1与2a2的等差中项（）求an的通项公式；（）设bn=（2n+1）an，求数列bn的前n项和Tn考点： 数列的求和；等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： （）由已知得S1=a1=a（a1a1+1），Sn1=a（Sn1an1+1），从而an是首项为a公比为a的等比数列，进而=an由4a3是a1与2a2的等差中项，得8a3=a+2a2，由此能求出an=（）n（）由bn=（2n+1）an=（2n+1）（）n，利用错位相减法能求出解答： 解：（）Sn=a（Snan+1），S1=a1=a（a1a1+1），解得a1=1，当n2时，Sn=a（Snan+1），Sn1=a（Sn1an1+1），两式相减，得an=aan1，an是首项为a公比为a的等比数列，=an4a3是a1与2a2的等差中项，8a3=a1+2a2，即8a3=a+2a2，解得a=，或a=0（舍），或a=（舍），an=（）n（）bn=（2n+1）an=（2n+1）（）n，Tn=，=+，得：=，点评： 本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用21已知椭圆=1（ab0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为（）求椭圆的方程；（）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；（2）是否存在这样的直线l，使SABO的最大值为（其中O为坐标原点）？若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由考点： 椭圆的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）利用椭圆的定义求出a，根据离心率，求出c，可得b，即可求椭圆的方程；（）（1）设直线的方程为y=k（x1），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、中点坐标公式，可得AB的中点坐标，分类讨论，利用|MA|=|MB|，可得方程，即可求直线l斜率k的值；（2）分类讨论，求出SABO，即可得出结论解答： 解：（），（1分），b2=a2c2=21=1（2分）椭圆的标准方程为（3分）（）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x1），A（x1，y1）B（x2，y2）联立直线与椭圆方程，化简得：（1+2k2）x24k2x+2k22=0，（4分）AB的中点坐标为（5分）（1）k=0时，不满足条件；当k0时，|MA|=|MB|，整理得2k23k+1=0，解得k=1或（7分）（2）k=0时，直线方程为x=1，代入椭圆方程，此时y=，SABO=，k0时，SABO=|y1y2|=|=kR，k0，综上，满足题意的直线存在，方程为x=1（14分）点评： 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度