2019-2020年高三数学上学期第二次统练试题 理（含解析）新人教A版.doc

2019-2020年高三数学上学期第二次统练试题 理（含解析）新人教A版【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。2.适度综合考查，提高试题的区分度 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度.一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)【题文】1. 设集合A=, B=, 那么“mA”是“mB”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 【答案解析】A 解析：由，可得x（x1）0，且x1，解得0x1，A=0，1）“mA”是“mB”的充分不必要条件故选：A【思路点拨】由，可得x（x1）0，且x1，解得A=0，1），即可得出【题文】2. 命题：（1）, （2）, （3） , （4）若，则， （5），其中真命题个数是 A1 B. 2 C 3 D. 4【知识点】命题的真假判断与应用A2 【答案解析】C 解析：（1）根据指数函数的性质可知,成立，正确；（2）当x=1时，不成立，故命题xN*，错误；（3）当0x10时，lgx1，即 , 成立，正确；（4）若，则且x1=0，故命题错误（5）当x=，满足sinx=1，即，正确故真命题是（1）（3）（5），故选：C【思路点拨】根据全称命题和特称命题的定义和性质分别进行判断即可得到结论【题文】3已知为等比数列，下面结论中正确的是AB C若,则D若,则【知识点】等比数列的性质D3 【答案解析】B 解析：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a32a2成立，故A不正确；，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，q2=1，q=1，a1=a2或a1=a2，故C不正确；若a3a1，则a1q2a1，a4a2=a1q（q21），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B【思路点拨】a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a32a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=a2；若a3a1，则a1q2a1，而a4a2=a1q（q21），其正负由q的符号确定，故可得结论【题文】4. 已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。与C交于A,B两点，=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为A18 B . 24 C. 36 D. 48【知识点】直线与圆锥曲线的关系H8 【答案解析】C 解析：设抛物线的解析式为y2=2px（p0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又ABx轴，|AB|=2p=12，p=6又点P在准线上，DP=（+|）=p=6SABP=（DPAB）=612=36，故选C【思路点拨】首先设抛物线的解析式y2=2px（p0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，ABP的面积是|AB|与DP乘积一半【题文】5. 设Sn是等差数列an的前n项和，若，则 A B C D【知识点】等差数列的前n项和D2 【答案解析】D 解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d0，故选D【思路点拨】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可【题文】6函数yln的大致图象为【知识点】函数的图象B10 【答案解析】A 解析：当x时，y=ln=ln其图象为：当2x3时，y=ln=ln其图象为：综合可得选项A正确，故选A【思路点拨】题目中函数解析式中含有绝对值，须对2x3的符号进行讨论，去掉绝对值转化为对数函数考虑，利用对数函数的图象与性质解决【题文】7某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B C10 D【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】C 解析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，10，显然面积的最大值10故选C【思路点拨】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值【题文】8. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A. B. C. D. 【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换；余弦函数的对称性. 有C4 【答案解析】A 解析：函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称由此易得故选A。【思路点拨】先根据函数y=3cos（2x+）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出的值，进而可得|的最小值【题文】9已知函数 若有则的取值范围为A B C D【知识点】函数的零点与方程根的关系B9 【答案解析】B 解析：f（a）=g（b），ea1=b2+4b3b2+4b2=ea0即b24b+20，求得2b2+，故选B【思路点拨】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可【题文】10函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A2 B 4 C 6 D8【知识点】正弦函数的图象菁C3 【答案解析】B 解析：函数y+1=可以化为y=，函数y1=与y2=2sinx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1x4时，y1，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（2，）上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（，3）上是单调减且为正数，函数y2在x=处取最大值为2，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：xA+xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为4故选：B【思路点拨】函数y+1=可以化为y=，的图象由奇函数y=的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）【题文】11设函数为奇函数，则* 【知识点】函数奇偶性的性质B4 【答案解析】1 解析：函数为奇函数，f（x）+f（x）=0，f（1）+f（1）=0，即2（1+a）+0=0，a=1故应填1【思路点拨】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（x）=0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（x）=0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值【题文】12. 函数的减区间是 * 【知识点】利用导数研究函数的单调性B12 【答案解析】（0，1） 解析：函数f（x）=ln的定义域是，解得x|0x2，f（x）=+，令f（x）=+0，即，0x2，2xx，解得x1，故0x1，即函数f（x）=ln的减区间是（0，1）故答案为（0，1）【思路点拨】函数f（x）=ln的定义域是x|0x2，f（x）=+，令f（x）0，由此能求出函数的减区间【题文】13已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为*【知识点】双曲线的简单性质H6 【答案解析】3 解析：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：故答案为3【思路点拨】过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，根据比例线段的性质可知进而求得a和c的关系，则离心率可得【题文】14已知，则求= * 【知识点】两角和与差的正弦函数C5 【答案解析】 解析：由于，则，又sin（+）=，则，即有cos（）=，则sin（）=sin（）=sin（）=sin（）cos（）=cos（）sin（）=（）=故答案为：【思路点拨】由于，则，又sin（+）=，则，由平方关系即可求出cos（），由sin（）=sin（）=sin（），运用两角差的正弦公式和诱导公式：，即可得到答案【题文】15已知点的坐标满足，设，则（为坐标原点）的最大值为 * 【知识点】简单线性规划的应用。版权E5 【答案解析】2 解析：满足的可行域如图所示，又，由图可知，平面区域内x值最大的点为（2，3），故答案为：2【思路点拨】先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果【题文】16、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= * 【知识点】向量在几何中的应用菁优F3 【答案解析】10 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则A（a，0），B（0，b）点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，P=|PA|2+|PB|2=10（）=10|PC|2=10故答案为：10【思路点拨】建立坐标系，利用坐标法，确定A，B，D，P的坐标，求出相应的距离，即可得到结论【题文】17如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行其中真命题是是 * .（填写真命题的序号）【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系G3 【答案解析】 解析：过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，设交点为P，连接MP，则MP 与直线AB相交，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；正确直线BC直线B1C1，直线BC与直线AB确定平面ABCD，过点M有且只有直线D1D平面ABCD即过点M有且只有直线D1DAB，BC，过点M有且只有直线D1DAB，B1C1过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；正确过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，过M点与直线B1C1有且只有一个平面，该平面与直线AB相交，过点M不止一个平面与直线AB、B1C1都相交，错误过M分别作AB，B1C1的平行线，都有且只有一条，这两条平行线成为相交直线，确定一个平面，该平面与AB，B1C1平行，且只有该平面与两直线平行，正确故答案为【思路点拨】需要构造一个过点M且与直线AB、B1C1都相交的平面，就可判断；利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断；可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B1C1都相交的平面，即可判断利用线面平行的性质来判断即可三、解答题：（本大题共5小题，共72分）【题文】18（本小题满分12分）数列上， （1）求数列的通项公式； （2）若【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和D2 D4 【答案解析】（1）an=2n+1；（2）Tn=n3n+1解析：（1）点（an，an+1）在直线y=x+2上数列an是以3为首项，以2为公差的等差数，an=3+2（n1）=2n+1（2）bn=an3n，bn=（2n+1）3nTn=33+532+733+（2n1）3n1+（2n+1）3n3Tn=332+533+（2n1）3n+（2n+1）3n+1由得2Tn=33+2（32+33+3n）（2n+1）3n+1=2n3n+1Tn=n3n+1【思路点拨】（1）把点（an，an+1）代入直线y=x+2中可知数列an是以3为首项，以2为公差的等差数，进而利用等差数列的通项公式求得答案（2）把（1）中求得an代入bn=an3n，利用错位相减法求得数列bn的前n项和Tn【题文】19（本小题满分14分）已知函数（其中）（I）求函数的值域； （II）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间【知识点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象C3 C4 C5 【答案解析】（）-3,1；（II），解析：（）5分由1, 得21可知函数的值域为-3,1 8分（II）由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为0，得，即得10分于是有，再由，解得x所以的单调增区间为，14分【思路点拨】（I）化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的有界性求出函数f（x）的值域；（II）对任意的aR，函数y=f（x），x（a，a+的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，确定函数的周期，再确定的值，然后求函数y=f（x），xR的单调增区间【题文】20（本小题共15分） 如图，在三棱锥中，底面ABC，点、分别在棱上，且 （）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成角的大小的余弦值；（）是否存在点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的值。【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角G11 【答案解析】（）见解析；（）；（）存在点E使得二面角是直二面角，。解析：（）PA底面ABC，PABC. 又，ACBC.又 BC平面PAC.4分（）D为PB的中点，DE/BC， ，又由（）知，BC平面PAC， DE平面PAC，垂足为点E. DAE是AD与平面PAC所成的角，6分PA底面ABC，PAAB，又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，在RtABC中，.在RtADE中，与平面所成的角的大小的余弦值.9分（）AE/BC，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角的平面角12分。PA底面ABC，PAAC，此时AE为斜边PC上的高 故存在点E使得二面角是直二面角.不妨设PA=2，则=15分【解法2】以A为原点建立空间直角坐标系， 1分 设，由已知可得 .（）， ，BCAP.又，BCAC，BC平面PAC. 4分 （）D为PB的中点，DE/BC，E为PC的中点， 又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E. DAE是AD与平面PAC所成的角，.8分与平面所成的角的大小的余弦值.9分【思路点拨】（）欲证BC平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PABC，而ACBC，满足定理所需条件；（）根据DE平面PAC，垂足为点E，则DAE是AD与平面PAC所成的角在RtADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；（）根据DEAE，DEPE，由二面角的平面角的定义可知AEP为二面角ADEP的平面角，而PAAC，则在棱PC上存在一点E，使得AEPC，从而存在点E使得二面角ADEP是直二面角【题文】20（本题15分）如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点,且， （1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8 【答案解析】（1）；（2）。解析：（1）如图建系，设椭圆方程为,则又即 故椭圆方程为 5分 （2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则设，故， 7分于是设直线为 ，由得 9分 又得 即 由韦达定理得 解得或（舍） 经检验符合条件14分，所以直线15分【思路点拨】（1）设出椭圆的方程，根据题意可知c，进而根据求得a，进而利用a和c求得b，则椭圆的方程可得（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，设出P，Q的坐标，利用点M，F的坐标求得直线PQ的斜率，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用求得m【题文】22（本题满分16分）已知函数.（1）若函数为偶函数，求的值；（2）若，求函数的单调递增区间； （3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【知识点】函数恒成立问题B12 【答案解析】（1）a=0；（2）（，1和（3）解析：（1）解法一：因为函数f（x）=x2+2|xa|又函数y=f（x）为偶函数，所以任取xR，则f（x）=f（x）恒成立，即（x）2+2|xa|=x2+2|xa|恒成立（3分）所以|xa|=|x+a|恒成立，两边平方得：x22ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0（5分） 解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，所以f（1）=f（1），得|1a|=|1+a|，得：a=0所以f（x）=x2+2|x|，故有f（x）=f（x），即f（x）为偶函数（5分）（2）若，则（8分）由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为（，1和（10分）（3）不等式f（x1）2f（x）化为（x1）2+2|x1a|2x2+4|xa|，即：4|xa|2|x（1+a）|x2+2x1（*）对任意的x0，+）恒成立因为a0所以分如下情况讨论：0xa时，不等式（*）化为4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x2+4x+12a0对任意的x0，a恒成立，因为函数g（x）=x2+4x+12a在区间0，a上单调递增，则g（0）最小，所以只需g（0）0即可，得，又a0所以（12分）ax1+a时，不等式（*）化为4（xa）+2x（1+a）x2+2x1，即x24x+1+6a0对任意的x（a，1+a恒成立，由，知：函数h（x）=x24x+1+6a在区间（a，1+a上单调递减，则只需h（1+a）0即可，即a2+4a20，得或因为所以，由得（14分）x1+a时，不等式（*）化为4（xa）2x（1+a）x2+2x1，即x2+2x30对任意的x（a+1，+）恒成立，因为函数（x）=x2+2x3在区间（a+1，+）上单调递增，则只需（a+1）0即可，即a2+4a20，得或，由得综上所述得，a的取值范围是（16分）【思路点拨】（1）因为函数y=f（x）为偶函数，所以可由定义得f（x）=f（x）恒成立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（1）=f（1），化简即可，但必须检验（2）分x，x，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”（3）先整理f（x1）2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分0xaax1+ax1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集B模块（数学）【题文】1.（本小题满分10分） 已知函数（是自然对数的底数）（1）求的最小值；（2）不等式的解集为P, 若求实数的取值范围；【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用B12 【答案解析】（1）1；（2） 解析：（1）当时，； 当时，故连续，故3分（2）即不等式在区间有解，可化为，在区间有解5分令7分故在区间递减，在区间递增所以，实数a的取值范围为10分【思路点拨】（1）先求导数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，连续函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值；（2）根据不等式f（x）ax的解集为P，且x|x2且两个集合的交集不是空集，可转化成，对任意的x，2，不等式f（x）ax有解，将（1+a）xex变形为 ，令 ，利用导数研究g（x）的最大值，使a小于最大值即可【题文】2（本小题满分10分）（1）. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A.60 B.48 C.42 D.36 (2). 若展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于_.【知识点】二项式定理的应用；计数原理的应用J1 J3 【答案解析】（1）B ；(2)210； 解析：（1）从3名女生中任取2人在一起记作A，A共有C32A22=6种不同排法，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间，共有62=12种排法（A左B右和A右B左），再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有124=48种不同排法；故答案为：B；（2）（x3+）n 展开式中第6项的系数最大，化简得；解得9n11，即n=10；Tr+1=（x3）10r=x303r2r，令303r2r=0，得r=6，T6+1=210；即不含x的项等于210胡答案为：210【思路点拨】（1）先从3名女生中任取2人排在一起，再排男生甲和剩余的一名女生，最后排男生乙，即可得出答案；（2）展开式中的系数即二项式系数，求出n的值，再求不含x的项