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3.1 回归分析的基本思想 及其初步应用 （第一课时）,1通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用 2让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方法 3从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣,本节课通过必修3熟悉有例题回顾线性相关关系知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引出随机误差、残差、残差分析的概念，进而运用残差来进行数据分析，通过例题讲解掌握用残差分析判断线性回归模型的拟合效果。掌握建立回归模型的步骤。 本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，练习进行巩固了解回归分析的基本思想方法和初步应用,从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 怎样根据一名女大学生的身高预报她的体重，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重？,根据必修3 2.3变量相关关系解决这个问题的方法： 1.先判断是两个变量是否具有线性相关关系 (1)作散点图，如图所示(见课本P82：图3.1-1),2.根据线性回归的系数公式，求回归直线方程 0.849x-85.712,3.由线性回归方程可以估计其位置值为 60.316(千克)左右。,具有较好的线性相关关系,性质：回归直线一定过样本中心点,(2)计算相关系数,这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y 的值不能完全由x 确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差,因此,在统计学中设它们的线性回归模型为:,其中a,b为模型的未知参数,e为y与bx+a之间的误差，称它为随机误差，它是随机变量。且,线性回归模型完整表达式为,x称为_变量,y称为_变量.,解释,预报,线性回归模型中随机误差的主要来源 线性回归模型中的预报值 与真实情况y引起的误差； 观测与计算(用 代替b a)产生的误差； 省略了一些因素的影响(如生活习惯等）产生的误差.,称相应于点 的残差,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,残差的作用,1.通过残差表或残差图发现原始数据中的可疑数据,通过残差 来判断模型拟合的效果这种分析工作称为残差分析,通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断，如何精确判断模型拟合的效果？,引入参数R2,来精确该画模型拟合效果,对于己获取的样本数据，在上式子中 是定值， 越小，即残差平方和越小，R2越大，说明模型拟合效果越好。,引入例中参数R2计算得约为0.64说明女大学生体重差异有百分之六十四是由身高引起的.,知识点 线性回归分析 1.对线性回归模型的三点说明 (1)非确定性关系：线性回归模型y=bx+a+e与确定性函数y=bx+a相比，它表示y与x之间是统计相关关系(非确定性关系),其中的随机误差e提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具.,(2)线性回归方程 中 ， 的意义是：以 为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加 个单位. (3)线性回归模型中随机误差的主要来源 线性回归模型与真实情况引起的误差； 观测与计算产生的误差； 省略了一些因素的影响产生的误差.,2.线性回归模型的模拟效果 (1)残差图法:观察残差图,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.,(2)残差的平方和法:一般情况下,比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小,而另一些样本点的情况则相反),故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. (3)R2法:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好.,3.相关系数与R2 (1)R2是相关系数的平方,其变化范围为0,1,而相关系数的变化范围为-1,1. (2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果. (3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|接近于0时说明两变量的相关性较弱,而当R2接近于1时,说明线性回归方程的拟合效果较好.,【微思考】 (1)残差与我们平时说的误差是一回事儿吗? 提示:这两个概念在某程度上具有很大的相似性,都是衡量不确定性的指标,二者的区别是:误差与测量有关,误差可以衡量测量的准确性,误差越大表示测量越不准确;残差与预测有关,残差大小可以衡量预测的准确性,残差越大表示预测越不准确.,(2)R2与原来学过的相关系数r有区别吗? 提示:它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的,区别是R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,其表达式为R2=1- ; 相关系数r是检验两个变量相关性的强弱程度, 其表达式为,建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量 (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等) (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程) (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数 (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等,为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：,(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析,作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄,解答 (1)散点图如图,(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系 规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)残差平方和越小,线性回归方程拟合效果越好.( ) (2)在画两个变量的散点图时,预报变量在x轴上,解释变量在y轴上. ( ) (3)R2越接近于1,线性回归方程的拟合效果越好.( ),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系为 . (2)在残差分析中,残差图的纵坐标为 . (3)如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上,则残差平方和等于 ,解释变量和预报变量之间的相关系数R等于 .,正相关,残差,0,1或-1,3.已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：,求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏,
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