灰色系统理论

灰色系统理论 主要介绍灰色系统理论的基本概念与基本原理，重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型 ,1)模型。 目标不在于讨论灰色系统理论的理论基础，而是在于掌握一种数学建模的思想、方法和技巧。 如有同学对该理论的理论基础该兴趣，我们可以课下讨论。 一、灰色系统的基本概念与基本原理 灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授于1982年创立的一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。 概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。 概率统计研究的是 “ 随机不确定 ” 现象 ,着重于考察随机不确定现象的历史规律。其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。 模糊数学着重研究 “ 认知不确定 ” 问题 ,其研究对象具有 “ 内涵明确、外延不明确 ” 的特点。例如，“ 年轻人 ” ， “ 有钱 ” 。 灰色系统理论着重研究 “ 小样本 , 贫信息 ” 认知不确定问题，其研究对象具有 “ 外延明确、内涵不明确 ” 的特点。 例如， “ 8万到 10万之间 ” 就是一个灰概念，其外延明确，但内涵不清楚。 项目 灰色系统 概率统计 模糊数学 研究对象 贫信息丌确定 随机丌确定 认知丌确定 基础集合 灰色朦胧集 康托集 模糊集 方法依据 信息覆盖 映射 映射 途径手段 灰序列生成 频率分布 截集 数据要求 任意分布 典型分布 隶属度可知 侧重 内涵 内涵 外延 目标 现实规律 历史统计规律 认知表达 特色 小样本 大样本 凭借经验 1. 灰色系统的基本概念 灰色系统中 “ 灰色 ” 的基本含义是指信息不完全，包括元素信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息不完全。 2. 灰色系统的基本原理 目前灰色系统理论的理论体系很不完善，但是，邓聚龙发现并提炼了灰色系统理论的基本原理： 公理 1 差异信息原理 差异是信息，凡信息必有差异； 公理 2 解的非唯一原理 信息不完全、不确定的解是不唯一的； 公理 3 最少信息原理 充分利用已有的最小信息； 公理 4 认知根据原理 信息是认知的根据； 公理 5 新信息优先原理 新信息对认知的作用优于老信息； 公理 6 灰性不灭原理 信息不完全 (灰 )是绝对的。 1. 灰数：只知道大概范围而丌知道其确切的数，通常记为： 。 灰数的种类： a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： a, b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： - ,b c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： a, b d、连续灰数不离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取值连续地取满整个区间地灰数称为连续灰数。 e、黑数不白数 当 (- , )，即当 癿上界、下界皀为无穷，称为 黑数 ，当 a,b且 a=b,时，称 为白数。 f、本征灰数不非本征灰数 本征灰数是指丌能或暂时还丌能找到一个白数作为其 “ 代表 ” 癿灰数；非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作为其 “ 代表 ” 癿灰数。 从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次型灰数。 间灰数的运算。 设灰数 1 a, b, 2 c,d (则 1 1/b,1/a 1 2 ac,ad,bc,ac,ad,bc, 若 , 则 1/ 2= 12 a/c,a/d,b/c,b/d,a/c,a/d,b/c,b/a 若 则： k1 定义：形如 的白化称为 等权白化 。 定义：在等权白化中 而得到的白化值称为 等权均值白化。 定义：设区间灰数 1 a, b, 2 c,d (则称 2、 1中不等号反过来成立，则称 3、存在 有 则称 M=m= M 的振幅。 ,3,2, 0)1()( ()( ,2,1)( ,2,1)( 定义 3 （序列算子的定义） 设 的算子， 的作用后所得序列记为 称 列算子的作用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称 为二阶算子， 为三阶算子， 为二阶算子作用序列， 为三阶算子作用序列。 公理 1 （不动点公理） 设 )(,)2(,)1( 321 , 1 )( 公理 2 （信息充分利用公理）系统行为数据序列 都应该充分的参与算子作用的全过程。 ,2,1),( 公理 3 （解析化、规范化公理）任意的， 都可以由一个统一的 的初等解析式表达。 ()x k d ,2,1 )(,),2(),1( 上述三个公理称为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子。 设 减序列或振荡序列时： 1、若缓冲序列 的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，称缓冲算子 2、若缓冲序列 的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，称缓冲算子 缓冲算子的性质 定理 1 设 有 1、 2、 即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用下数据萎缩。 定理 2 设 有 1、 2、 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用下数据膨胀。 ;,2,1,)()( ;,2,1,)()( ;,2,1,)()( ;,2,1,)()( 实用缓冲算子的构造 定理 3 设原始数据序列 X= 令 其中 则当 调衰减序列或振荡序列时， 证明从略） )(,),2(),1( )(,)2(,)1( ,2,1;)()1()(11)( 四、实用缓冲算子的构造 定理 4 设原始数据序列 X= 令 其中 则当 调衰减序列或振荡序列时， 证明从略） )(,),2(),1( )(,)2(,)1( 1,2,1;12)()1()2()1()( 均 值 生 成 定义 1 设序列 与 为 称为前值， 称为后值，若 为新信息，则对任意 为 老信息。 )(),1(),(,),2(),1( )(1( (1( (,1 定义 2 设序列 X在 为 ，即 则称 与 为 的界值 为前界， 为后界。当 由 和 生成时，称生成值 为 的内点。 )( k)(),1(),(),1(,),2(),1( )1( ( ( k )1( ( ( k )1( 1( 1(),( 设 与 为序列 有 1、 为老信息， 为新信息； 2、 则称 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值，当 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当 0时， iX jX 1 1iX jX i jiX jji j ji上述定理反映出序列的增殖特性，当两个增长序列的绝对值量 相同时，初值小的序列的相对增长速度要高于初值大的序列， 要保持相同的增长速度，初值大的序列的绝对增量必须大于初 值小的序列。 定义 3 设 为系统特征序列，且 为相关因素序列， );(,),2(),1( ) ) ;(,),2(),1( 1111 );(,),2(),1( );(,),2(),1( 给定实数 ，若实数 满足 1、规范性 2、整体性 对于 有 3、偶对称性 = )(),( 0 i)(),(1),( 0010 1),(,1),(0 2;,2,1,0 ( X ),(),( X ),( 4、接近性 越小， 越大。 则称 为 对 的灰色关联度，以上 4条称为 灰色关联四公理。 表明系统中的任何两个行为序列 都不可能时严格无关联的。 整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色 关联度亦随之变化。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只 有两个序列时，两两比较满足对称性。 接近性是对关联度量化的约束。 )()(0 i )(),( 0 i),( 0 X1,0(),( 0 理 2 设系统行为序列 对于 令 ) ) ;(,),2(),1( 1111 );(,),2(),1( );(,),2(),1( );(,),2(),1( 0000 )()(ma x)()()()(ma x)()(mi n)(),(00000)1,0()(),(1),( 则称 满足灰色关联四公理，其中 为分 辨系数。灰色关联度的计算步骤： 1、求各序列的初值像（或均值像），令 2、求差序列，记 3、求两极最大差与最小差，记 ),( 0 ( 1 ) ( ( 1 ) , ( 2 ) , , ( ) )i i i i i x x x x n 0 , 1 , 2 , ,( ) ( ) ( )( ( 1 ) , ( 2 ) , , ( ) )i i ik x k x 0 , 1 , 2 , ,、求关联系数 5、计算关联度 m a x m a x ( ) ,m i n m i n ( )0( ) , ( 0 , 1 )()1 , 2 , , ; 1 , 2 , ,n i m0011( ) ; 1 , 2 ,i 应用研究 一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析 选择 100米作为研究项目 ,依据灰色关联度分析原理 ,揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度 ;针对训练实践中对身体素质认识上的模糊 ,提出相应的训练策略 ,旨在对提高运动成绩有所裨益。 相关因素：行进间 30米 ， 230米，460米， 5150米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。 应用研究 我国铁路货物运输发展的灰色关联分析 本文用灰色关联分析方法对 1989 2002年我国铁路运输货运量的发展进行系统分析 ,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度 ,以便为有关部门的决策者提供数据资料 . 影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有 :口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等 0,其影响因素作为子序列 义灰色关联度 一、绝对灰色关联度 命题 1 设行为序列 记折线 为 令 则 1、当 为增长序列时， 2、当 为增长序列时， 3、当 为增长序列时， 符号不定。 );(,),2(),1( ( ( 1 ) ( 1 ) , ( 2 ) ( 1 ) , , ( ) ( 1 ) )i i i i i ix x x x x n x (1 ) ,( (1 )ni i x d t1 设行为序列 为序列算子，且 其中 则称 始点零化算子， 为 的始点零化像，记为 命题 2 设行为序列 的始点零化像分别为 ( (1 ) , ( 2 ) , , ( ) ) ;i i i iX x x x n D( ( 1 ) , ( 2 ) , , ( ) )i i i x d x d x n d( ) ( ) (1 ) , 1 , 2 , ,i i ix k d x k x k n 0 0( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )i i i iX x x x n( (1 ) , ( 2 ) , , ( ) ) ;i i i iX x x x n( (1 ) , ( 2 ) , , ( ) ) ;j j j jX x x x n0 0 0 0( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )i i i iX x x x n0 0 0 0( ( 1 ) , ( 2 ) , ( ) )j j j jX x x x n令 则 1、若 恒在 上方， 2、若 恒在 下方， 3、若 与 相交， 符号不定。 定义 2 称序列 各个观测数据间时距之和为 的长度。 注意：长度相等的两个序列中的观测数据数量不一定相等。 001()ni j i js s X X d t 000iX 3 设序列 与 的长度相等，则称 为 与 的灰色绝对关联度。灰色绝对关联度满足灰色 关联公理中的规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。 引理 2 设序列 与 的长度相同，且皆为 1 分别为 和 的始点零化像，则 s s s 0X 0 0( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )i i i iX x x x n0 0 0 00 0 0 0( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )X x x x n0 021( ) ( )2x k x n10021( ) ( )2ni i x k x n10 0 0 00 0 021( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )2ni i s x k x k x n x n 定理 3 设序列 和 的长度相同，当他们时距不同 或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相应空 穴使之化成时距相等的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不 变。 0X 4 灰色绝对关联度 具有下列性质： 1、 2、 只与 和 的几何形状有关，而与其空间相对位置 无关。 3、 任何两个序列都不是绝对无关的，即 恒不为 0。 4、 与 几何上的相似程度越大， 越大。 5、 与 的长度变化， 亦变。 6、 当 或 的任一个观测数据变化， 将随之变化。 7、 8、 0i00 1 ;i0i 0X X i000 0 1 11 , 0应用研究 登陆地域选择 登陆作战中登陆地域的选择是决定能否“登得上”的主要因素之一。登陆地域选择的好坏直接影响到登陆成败、战场兵力与武器损耗的多少 ,以及作战价值的大小等等。因此 ,必须在认真分析海岸区域的地理条件和敌海岸兵力分布情况的基础上 ,科学地选择登陆地域。 用灰色关联理论的方法来分析登陆地域选择问题 ,主要是提出一种新的用以解决登陆地域选择的问题的解法 ,即灰色关联理论的方法。 二、灰色相对关联度 定义 5 设序列 长度相同，且初值不等于 0， 分别为 的初值像，则称 的灰色 绝对关联度为 与 的灰色相对关联度。记为 灰色相对关联度是序列 与 相对于初始点的变化速率的 联系的数量表征。 与 的变化速率越接近， 越大，反 之越小。 命题 4 设 为长度相同且初值不等于 0的序列，若 ，其中 c0为常数，则 。 0 ,X X 0 ,X ,X iX c X0 10X 海洋产业与海洋主要产业总产值关联度分析，确定主导产业 0为海洋主要产业总产值 ; 1为海洋水产业 ; 2为海洋油气业 ; 3为海滨砂矿业 ; 4为海洋盐业 ; 5为沿海造船业 ; 6为海洋交通运输业 ; 7为沿海海外旅游业。 三、灰色综合关联度 定义 6 设序列 的长度相同，且初值不等于 0， 与 分别为 与 的灰色绝对关联度和灰色相 对关联度， 则称 为 与 的灰色综合关联度。 它既体现了折线的相似程度，又反映了相对与始点的变化速率 全面反映了序列之间联系，一般取 = 综合关联度的性质（略）（ 9条） 0 ,X 0X 0 , 1 0 0 0( 1 )i i 0X 导弹武器系统作战效能的灰色评估 依据导弹武器系统的战术技术指标要求 ,建立了导弹武器系统的指标体系 ;运用灰色系统的原理和方法结合层次分析法对该系统的能力进行评价 ,评价采取定量分析为主 ,与定性分析相结合。实例证明 ,灰色评估与层次分析法相结合能有效降低人为因素的影响 ,评价结果具有客观性 ,一定程度上能给决策者提供可靠的依据 例 供应商选择决策。 某企业需要在 6 个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴，各待选供应商有关数据见下表： 评价指标 待选供应商 1 2 3 4 5 6 产品质量 品价格 326 295 340 287 310 303 地理位置 21 38 25 19 27 10 售后服务 术水平 济效益 应能力 250 180 300 200 150 175 市场影响 货情况 、灰色预测模型 灰色预测的核心内容是灰色模型，主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列，即先对原始数据做累加 (或其他方法生成 ) 得到近似的指数规律再用微分方程建模的方法。 灰色预测的优点是需要的数据少 (4个即可 )、精度较高、计算简单、易于检验，缺点是只适合指数增长的中短期预测。 1. ,1)模型 ,1) 表示 1阶微分方程且含 1个变量的灰色模型。 设系统某行为特征序列的观察值为 X(0)=x(0)(1), x(0)(2), , x(0)(n)， 其一次累加生成序列 (1 X(1)=x(1)(1), x(1)(2), , x(1)(n)， 其中， 。 ( 1 ) ( 0 )1, 1 , 2 , ,k x i k n 根据累加生成算子的性质， X(1) 近似服从指数增长规律。 X(1)的紧邻均值生成序列为 Z(1)=z(1)(2), z(1)(3), , z(1)(n)， 其 根据差分方程的特性，建立灰差分方程 x(0)(k)+a z(1)(k)=b, k=2,3,n 称之为 ,1)模型的基本形式， - a 称为 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 2 , 2 , 3 , ,z k x k x k k n 发展系数， 1,1) 模型的基本形式有多种，上述仅为其中常用的一种形式。 上述差分方程可变换为 方程 (1)表明 x(1)(k)为 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )221 ( 1 )221 1 ( 2)2k x k x k x k x k b 将离散的差分方程 (2)近似为连续的微分方程： 称之为 ,1)模型的白化形式或影子方程。 记 ( 1 ) ( 1 )d x ta x t ( 0 ) ( 1 )( 0 ) ( 1 )( 0 ) ( 1 )2 2 13 3 1,1 n z n 则 ,1)模型的基本形式可写为 Y=是一个超定方程，其在最小二乘意义下的解为 u=(1 求出 a, 入白化方程，可得解 称为时间响应函数，从而时间响应序列为 ( 1 ) ( 1 )11 t x ( 1 ) ( 0 )1 1 , 0 , 1 , 2 ,k x e 还原值为 最后可以利用残差 (相对误差 ) 对预测值进行检验。若 ，通常认为达到了较高的要求。 ( 0 ) ( 1 ) ( 0 )( 0 )111 1 , 0 , 1 , 2 , ,a a kx k x k x x e k ( 0 )( 0 )( 0 ), 1 , 2 , ,x k x kk k 10%k 2. ,1)模型的讨论 从 ,1) 的建模预测过程可以很清楚地看出，, 1) 其实就是基于累加生成序列和最小二乘估计的指数拟合模型。 ,1) 建模机理和预测的稳定性一直是众多学者探讨的问题之一，但尚未取得大家公认的科学合理的解释。目前达成共识的是： 1,1) 可以用于指数规律较强的单调序列的中短期预测；即使用于纯 指数增长序列的长期预测也可能存在较大误差；预测精度与发展系数 发展系数 映了 及 的发展态势。理论已证明， 时， ,1) 模型有意义，且 较小时预测精度较高，而随着 的增大，预测误差会随之变大。 通常， ,1)模型在 a (1)x (0) 对非单调序列如振荡序列或有饱和的 S 形序列可用 ,1)、 也可采用其它方法如神经网络等。 五、灰色关联与灰色预测程序与实例 我们编制了灰色关联分析和灰色模型 ,1)预测通用 M，可方便地进行不同类型的灰色关联分析和灰色预测，并绘制预测数据图、进行误差检验、计算平均增长率。 六、上机练习 1. 2011年度东山矿务局 5个矿井生产经营数据如表 1，试对各矿井经济效益进行综合评价。 2. 某企业需要在 6个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴 , 各待选供应商有关数据见表 2。 表 1 指标 白家庄 杜尔坪 西铭 官地 西曲 成本 润 量 量 分 率 金周转天 源回收率 00 100 万吨死亡率 2 评价指标 待选供应商 1 2 3 4 5 6 产品质量 品价格 326 295 340 287 310 303 地理位置 21 38 25 19 27 10 售后服务 术水平 济效益 应能力 250 180 300 200 150 175 市场影响 货情况 3. 某地区平均降雨量数据 (单位： 列为 X = ( x ( 1 ) , x ( 2 ), x ( 17) ) = ( 390. 6 , 412. 0 , 其中 x(1),x(2),x(17)分别为 1971, 1972,1987年的数据 ， 取 =320 限异常值 (旱灾 )，试作旱灾预测。 4. 干热风若发生在 5月 29日以前 , 则对小麦是一种自然灾害。该地区历年干热风发生的日期如下，试作灾害预测。 年 1 2 3 4 5 6 7 月 日 6 3 5 25 6 7 6 1 5 29 5 26 6 25 年 8 9 10 11 12 13 14 月 日 5 27 6 4 5 24 5 31 5 28 5 25 5 25