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文数 课标版,第三节 合情推理与演绎推理,1.合情推理,教材研读,2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为 演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (i)大前提已知的一般原理; (ii)小前提所研究的特殊情况; (iii)结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.,() (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理. () (3)演绎推理的结论一定是正确的. () (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. () (5)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍 数”,这是三段论推理,其结论是正确的. (),1.下面几种推理是合情推理的是 ( ) 由圆的性质类比出球的有关性质; 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180,归纳出所 有三角形的内角和都是180; 某次考试张军的成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分; 三角形的内角和是180,四边形的内角和是360,五边形的内角和是5 40,由此得出凸n(n3)边形的内角和是(n-2)180. A. B. C. D. 答案 C 是类比推理,是归纳推理,不是合情推理.,2.(1)已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是 ah, 如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的 面积为 lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+2n-1=n2.(1)(2) 两个推理过程分别属于 ( ) A.类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理 C.归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理 答案 A (1)三角形的性质与扇形的性质有相似之处,此种推理为类比 推理;(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理.故选A.,3.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),又y= 是指数函数(小前提), 所以函数y= 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于 ( ) A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 答案 A 当a1时,y=ax为增函数;当0a1时,y=ax为减函数,故大前提 错误.,4.在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14, 类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为 . 答案 18 解析 两个正三角形是相似三角形,它们的面积比是相似比的平 方.类似地,两个正四面体是两个“相似”几何体,体积比为相似比的立 方,所求体积比为18.,5.在ABC中,不等式 + + 成立,在凸四边形ABCD中,不等式 + + + 成立,在凸五边形ABCDE中,不等式 + + + + 成立,依此类推,在凸n边形A1A2An中,不等式 + + 成立(n3,且nN*). 答案 解析 在ABC中, + + = ,在凸四边形ABCD中, + + + = ,在凸五边形ABCDE中, + + + + = , 在凸n边形A1A2An中, + + (n3,且nN*).,考点一 类比推理 典例1 (1)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为 复数集): 由“若a,bR,则a-b=0a=b”类比推出“若a,bC,则a-b=0a =b”; 由“若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d Q,则a+b =c+d a=c,b=d”; 由“若a,bR,则a-b0ab”类比推出“若a,bC,则a-b0 ab”; 由“若xR,则|x|1-1x1”类比推出“若zC,则|z|1-1z 1”.,考点突破,其中类比结论正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3, 4),此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则1h1+2h2+3h3+4h4= .类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i 个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则H1+2H2+3H3+4H4的值为 ( ),A. B. C. D.,答案 (1)B (2)B 解析 (1)类比结论正确的只有. (2)在平面凸四边形中,连接P点与各个顶点,将其分成四个小三角形, 根据三角形面积公式,可得 S= (a1h1+a2h2+a3h3+a4h4) = (kh1+2kh2+3kh3+4kh4),= (h1+2h2+3h3+4h4). 所以h1+2h2+3h3+4h4= . 类似地,连接Q点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有 V= (S1H1+S2H2+S3H3+S4H4) = (kH1+2kH2+3kH3+4kH4) = (H1+2H2+3H3+4H4), 所以H1+2H2+3H3+4H4= .,方法技巧 在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要 注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应 球,面积对应体积;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应 线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.,1-1 在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接 圆面积为S2,则 = .推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P- ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则 = ( ) A. B. C. D. 答案 C 正四面体的内切球与外接球的半径之比为13,故 = .,考点二 归纳推理 命题角度一 与数字有关的等式的推理 典例2 (1)(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1- = 1- + - = + 1- + - + - = + + 据此规律,第n个等式可为 . (2)(2016山东,12,5分)观察下列等式: + = 12;,+ + + = 23; + + + = 34; + + + = 45; 照此规律, + + + = . 答案 (1)1- + - + - = + + (2),解析 (1)规律为等式左边共有2n项,且等式左边分母分别为1,2,2n, 分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1- + - + - ;等式右 边共有n项,且分母分别为n+1,n+2,2n,分子为1,即为 + + .所以第n个等式可为1- + - + - = + + . (2)观察前4个等式,由归纳推理可知 + + = n(n+1)= .,典例3 (1)设n为正整数, f(n)=1+ + + ,计算得f(2)= , f(4)2, f(8) , f(16)3,观察上述结果,可推测一般的结论为 . (2)已知x(0,+),观察下列各式:x+ 2,x+ = + + 3,x+ = + + + 4,归纳得x+ n+1(nN*),则a= . 答案 (1)f(2n) (nN*) (2)nn 解析 (1)f(21)= , f(22)2= , f(23) , f(24) ,归纳得f(2n) (n N*). (2)第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时 a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.,命题角度二 与不等式有关的推理,典例4 (2016广东广州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家 杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”. 该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩 上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为 ( ) A.2 01722 015 B.2 01722 014 C.2 01622 015 D.2 01622 014,命题角度三 与数列有关的推理,答案 B 解析 由题意知数表的每一行都是等差数列, 且第一行数的公差为1,第二行数的公差为2,第三行数的公差为4, 第2 015行数的公差为22 014,第1行的第一个数为22-1, 第2行的第一个数为320, 第3行的第一个数为421, 第n行的第一个数为(n+1) , 第2 016行只有一个数M, 则M=(1+2 016)22 014=2 01722 014.故选B.,典例5 下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,依此规律,第 n个图形中小正方形的个数是 (nN*). 答案 解析 由题图可知第n个图形中小正方形的个数为1+2+3+n= .,命题角度四 与图形变化有关的推理,规律总结 (1)归纳推理的一般步骤: 通过对某些个体的观察、分析和比较,发现它们的相同性质或变化规 律;由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题. (2)归纳是依据特殊现象推出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了 前提所包含的范围. (3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学 的发现很有用.,2-1 (2016湖北优质高中联考)如图所示,将若干个点摆成三角形图案, 每条边(包括两个端点)有n(n1,nN)个点,相应的图案中总的点数记为 an,则 + + + = ( ) A. B. C. D.,考点三 演绎推理 典例6 数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,).求 证: (1)数列 是等比数列; (2)Sn+1=4an. 证明 (1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1= Sn, 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn). 整理得nSn+1=2(n+1)Sn, 所以 =2 ,又 0, 0, =2. (小前提) 故 是以2为公比的等比数列. (结论) (2)由(1)知 =4 (n2), 于是Sn+1=4(n+1) =4 Sn-1=4an(n2). 又a2=3S1=3, 故S2=a1+a2=4=4a1. 因此对于任意正整数n1,都有Sn+1=4an.,规律总结 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论 解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然 的,则可以省略,本题中,等比数列的定义在解题中是大前提,由于它是显 然的,因此省略不写. (2)在推理论证过程中,一些复杂的证明题常常要利用几个三段论才能 完成.,3-1 已知函数f(x)= (xR). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明. 解析 (1)因为f(-x)= = =- =-f(x), 所以f(x)是奇函数. (2)f(x)在R上为单调递增函数. 证明:任取实数x1,x2R,并且x1x2, 则f(x1)-f(x2)= - =,= . 因为x1x2,所以 , 所以 - 0,又 +10, +10, 所以 0, 所以f(x1)f(x2). 所以f(x)在R上为单调递增函数.,
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