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第九篇 平面解析几何(必修2、选修21),六年新课标全国卷试题分析,第1节 直线与方程,知识链条完善,考点专项突破,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.任意一条直线都有倾斜角和斜率吗? 提示:每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率.倾斜角为90的直线斜率不存在. 2.直线的倾斜角越大,斜率k就越大,这种说法正确吗?,3.截距是距离吗? 提示:直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标,所以截距是一个实数,可正、可负,也可为0,而不是距离. 4.应用点到直线的距离和两平行线间的距离时应注意什么? 提示:(1)将方程化为最简的一般形式;(2)利用两平行线之间的距离公式时,应使两平行线方程中x,y的系数分别对应相等.,知识梳理,1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义.当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴 与直线l 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0. 范围:倾斜角的范围为 . (2)直线的斜率 定义.一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k= ,倾斜角是90的直线没有斜率.,正向,向上,0,180),正切值,tan ,2.直线方程的五种形式,y-y0=k(x-x0),y=kx+b,Ax+By+C=0,(A,B不同时为0),3.两条直线位置关系的判定,k1k2=-1,(2)若方程组无解,则l1与l2 ,此时l1l2; (3)若方程组有无数组解,则l1与l2重合.,相交,无公共点,【重要结论】 1.常见的直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可设为x=x0). (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+=0(C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+=0. (4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程: A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).,2.对称问题 (1)中心对称 点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0),直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题.,夯基自测,D,2.(2014高考福建卷)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( ) (A)x+y-2=0 (B)x-y+2=0 (C)x+y-3=0 (D)x-y+3=0,解析:依题意,得直线l过点(0,3),斜率为1,所以直线l的方程为y-3=x-0,即x-y+3=0.故选D.,D,3.(2016济南模拟)已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a等于( ) (A)1或-3 (B)-1或3 (C)1或3 (D)-1或-3,A,4.(2016北京模拟)经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点,且斜率为2的直线方程是( ) (A)2x+y-7=0 (B)2x-y-7=0 (C)2x+y+7=0 (D)2x-y+7=0,B,5.已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为 .,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,直线的倾斜角与斜率,答案: (1)B,反思归纳 (1)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 求出斜率k的取值范围(若斜率不存在,倾斜角为90). 利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围.,考点二,求直线方程,【例2】 ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边的垂直平分线DE的方程.,反思归纳,(1)求直线方程的常用方法有: 直接法:直接求出直线方程中的系数,写出直线方程; 待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再构造关于系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线方程. (2)求直线方程时,应注意分类讨论思想的应用:如直线的斜率是否存在,直线在两坐标轴的截距是否为0等. (3)如果没有特别要求,则求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A0.,(2)(2015长沙模拟)已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,把直线l绕点M逆时针方向旋转45,得到的直线方程是( ) (A)3x+y-6=0 (B)3x-y+6=0 (C)x+y-3=0 (D)x-3y-2=0,两直线的位置关系,考点三,(2)(2016浙江名校联考)已知直线l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+ay-1=0,则“a=-1”是“l1l2”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件,解析: (2)若a=-1,则l1:x-3y-2=0, l2:-3x-y-1=0, 显然两条直线垂直; 若l1l2,则(a-2)+a(a-2)=0, 所以a=-1或a=2, 因此“a=-1”是“l1l2”的充分不必要条件.故选A.,反思归纳,充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1l2k1=k2,l1l2 k1k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.,解析:(1)因为两直线平行,所以有a(a-1)=2, 即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1.,答案: (1)2或-1 (2)1或0,距离问题,考点四,反思归纳,(2)求两点间的距离,关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等.,考查角度2:点到直线的距离公式及其应用. 高考扫描:2010高考新课标全国卷,2013高考新课标全国卷,2014高考新课标全国卷, 【例5】 (2015武汉调研)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. (1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;,(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.,反思归纳,(2)解决与点到直线的距离有关的问题,应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.,反思归纳,两平行直线间的距离求法 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离; (2)利用两平行线间的距离公式. 提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x,y的系数分别相等.,备选例题,【例1】 (2015金华模拟)经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为 .,答案:4x+3y-6=0,【例3】 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.,【例4】已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如图所示,求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,直线方程的应用中忽略分类讨论,易错提醒:(1)解此题时因为a0,只考虑到直线与BC相交,而忽略直线y=ax+b与AC,BC都相交,而导致选错. (2)在利用三角形面积求b的范围时因忽略a的范围导致错误,另外,最后两种情况一定要求得交集.,
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