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1.1 等腰三角形,第一章 三角形的证明,第2课时 等边三角形的性质,学习目标,1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角 形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质; 2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问 题.(重点、难点),在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.,思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？,导入新课,情境引入,讲授新课,上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？,猜想：底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等.,你能证明你的猜想吗？,例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等,A,C,B,E,已知:,求证:,BD=CE.,如图, 在ABC中, AB=AC, BD和CE是ABC的角平分线,1,2,猜想证明,2= ACB(已知),AB=AC(已知), ABC=ACB(等边对等角).,证明：,又1= ABC，,1=2(等式性质),在BDC与CEB中，,DCB= EBC（已知），,BC=CB（公共边），,1=2（已证），,BDCCEB（ASA）,BD=CE(全等三角形的对应边相等),A,C,B,E,1,2,又CM= ，BN= ，,例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等,BM=CN,求证:,已知：如图,在ABC中,AB=AC,BM,CN 是ABC两腰上的中线,证明：,AB=AC(已知)，ABC=ACB.,CM=BN 在BMC与CNB中，, BC=CB,MCB=NBC, CM=BN，,BMCCNB（SAS）,BM=CN.,例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等,BP=CQ,求证:,已知：如图,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是 ABC两腰上的高,证明：,AB=AC(已知)，ABC=ACB.,在BMC与CNB中，, BC=CB,QBC=PCB, BQC=CPB，,BQCCPB（SAS）,BP=CQ.,还有其他的结论吗?,1.已知:如图,在ABC中,AB=AC. （1）如果ABD= ABC ， ACE= ACB， 那么BD=CE吗? 为什么？,（2）如果ABD= ABC ， ACE= ACB 呢?,由此你能得到一个什么结论?,议一议：,过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.,BD=CE,BD=CE,BD=CE,2.已知:如图,在ABC中,AB=AC. (1)如果AD= AC,AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？,BD=CE,(2)如果AD= AC,AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？,BD=CE,由此你能得到一个什么结论?,(3)如果AD= AC,AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？,BD=CE,两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.,这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.,想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？,定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.,可以利用等腰三角形的性质进行证明.,怎样证明这一定理了？,定理证明,已知：如图,在ABC中， AB=AC=BC 求证：A=B=C=60,证明：在ABC中， AB=AC(已知)， B=C(等边对等角). 同理A=B 又A+B+C=180(三角形的内角和等于180)， A=B=C=60,定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.,例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求EDA的度数.,解：, ABC是等边三角形，,CBA=60.,BD是AC边上的中线，,BDA=90, DBA=30., BD=BE，, BDE=(180 DBA) 2 = (18030) 2=75., EDA=90 BDE=9075=15.,当堂练习,1.如图,ABC和ADE都是等边三角形，已ABC的周长为18cm,EC =2cm,则ADE的周长是 cm.,12,2.如图所示，ACM和BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.,证明： ACM和BCN都为等边三角形， 1360， 123 2， 即ACNMCB. CACM，CBCN， CANCMB(SAS)， ANBM.,3.如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小.,解：,OAB和OCD是两个全等的等边三角形.,AO=BO,CO=DO, AOB=COD=60., A、O、D三点共线，, DOB=COA=120，, COA DOB(SAS)., DBO=CAO.,设OB与EA相交于点F, EFB=AFO，, AEB=AOB=60.,F,变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出AEB的大小吗？,方法与前面相同，AEB=60.,课堂小结,等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质： 底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等.,定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.,
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