2019-2020年高三4月质量监测数学试题含答案.doc

2019-2020年高三4月质量监测数学试题含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合M0, 1, 2，Nx|x2a, aM ，则集合MN_0,22. 若复数z134i，z2ai，且z1是实数（其中为z2的共轭复数），则实数a_3. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_4. “m1”是“直线mx(2m1)y10和直线3xmy30垂直”的_条件充分不必要S1For I From 1 To 5 Step 2 SSIEnd ForPrint S5. 右边程序输出的结果是_106. 在三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_7. 在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x21的左、右焦点，ABC的顶点C在双曲线的右支上，则的值是 8. 在等差数列an中，a13a8a15120，则3a9a11的值为_48 9. 若sin2cos0，则的值为_.10. 在平面内，若A(1,7)、B(5,1)、M(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，且8，则cosAPB_11. 设f (x)是R上的奇函数，且f (1)0，当x0时，(x21)f (x)2xf (x)0，则不等式f (x)0的解集为_ (,1)(0,1)12. 已知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且BC边上的高为a，则的最大值为_13. 已知定义在R上的函数f (x)存在零点，且对任意m,nR都满足f mf (m)f (n)f 2(m)n，若关于x的方程1logax（a0,a1）恰有三个不同的根，则实数a的取值范围是【分析】：需要函数f f (x)的解析式！f (x)存在零点，令f (x0)0 令mx0 f x0f (x0)f (n)f 2(x0)n f f (n)n1logax恰有三个不同的根，logax1 （下略）a314. 若点P在曲线C1：y28x上，点Q在曲线C2：(x2)2y21上，点O为坐标原点，则的最大值是 【知识点：抛物线定义、多变量问题、函数求最值问题】解：注意到圆C2的圆心恰好为抛物线的焦点F，因为P、Q为两个独立的点，可先考虑一个点动，注意到只有分母有Q，故先求出|PQ|的最小值为|PF|1xp1xp1，|OP|28xp 令txp11 y (0,1)时，ymax二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，A1AC60，E、F分别是A1C1、AB的中点求证：（1）EF平面BB1C1C； （2）平面CEF平面ABC16. 如图，函数y2cos(x)（0，0）的图象与y轴交于点(0,)，周期是.（1）求、的值；（2）已知点A(,0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0,y0)是PA的中点，当y0，x0,时，求x0的值解：（1）y2cos(2x)（2）A(,0)，Q(x0,y0)是PA中点，y0，P(2x0,)又因为点P在y2cos(2x)的图象上，2cos(4x0)cos(4x0)x0,，4x02,4 4x02或4x02 x0或 17. 如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50，B，C间的距离为100，从A到C，必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25/h，再乘汽车到C，车速为50/h，记BDA（1）试将由A到C所用的时间t表示为的函数t()；（2）问为多少时，由A到C所用的时间t最少？BACD解：（1）AD，A到D所用时间t1BD，CD100BD100D到C所用时间t22 t()t1t22（0，其中tan0）6分（2）t()8分令t()0，得：cos ；当，时，t()单调递增；同理0，t()0，t()单调递减12分，t()取到最小值2；13分答：当时，由A到C的时间最少为2小时14分18. 如图，已知点F1,F2是椭圆Cl：y2 1的两个焦点，椭圆C2：y2 l经过点F1,F2，点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D设AB、CD的斜率分别为k、k.（1）试问：kk是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由（2）求|AB|CD|的最大值解：（1）因为点是椭圆的两个焦点，故的坐标是；而点是椭圆上的点，将的坐标带入的方程得， 设点的坐标是：，直线和分别是. （1）， 又点是椭圆上的点，故 （2） 联合（1）（2）两式得 ，故kk为定值（）直线的方程可表示为： () （3）结合方程（4）和椭圆的方程，得到方程组由方程组消y得 （4）,依韦达定理知，方程(4）的两根满足： ,.(5) 同理可求得 (6) , 由（5）（6）两式得： 当且仅当时等号成立.故的最大值等于. 19. 已知函数，（其中a为常数）.（1）如果函数和有相同的极值点，求a的值；（2）设a0，问是否存在，使得，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围.解：（1），则，令，得或，而在处有极大值，或；综上：或.（2）假设存在，即存在，使得，当时，又，故，则存在，使得， 当即时，得，；当即时，得，无解；综上：. （3）据题意有有3个不同的实根， 有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等.（）有2个不同的实根，只需满足；（）有3个不同的实根，当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；当即时，不符合题意，舍；当即时，在处取得极大值，；所以；因为（）（）要同时满足，故；（注：也对）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；若存在使得，由，即，得，当时，不符合，舍去；当时，既有 ；又由，即 ；联立式，可得；而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.综上，当时，函数有5个不同的零点. 20. 已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*，都有a2m1a2n12amn12(mn)2（1）求a3，a5；（2）设bna2n1a2n1 (nN*)，证明：bn是等差数列；（3）设cn(an+1an)qn1 (q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18204分(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. k#s5_u.c o*m即 bn1bn8所以bn是公差为8的等差数列8分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n12n于是cn2nqn1. 12分当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得：qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得：(1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 22nqn2所以Sn2综上所述，Sn16分