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课时提升作业 二十五生活中的优化问题举例一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:)为f(x)=13x3-x2+8(0x5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8B.203C.-1D.-8【解析】选C.原油温度的瞬时变化率为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0x5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.2.(2016西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为()A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm【解析】选D.设圆锥的高为xcm,则底面半径为202-x2cm,其体积为V=13x(202-x2)(0x20),V=13(400-3x2),令V=0,解得x1=2033,x2=-2033舍去.当0x0;当2033x20时,V0.所以当x=2033时,V取得最大值.【补偿训练】内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A.RB.2RC.43RD.34R【解析】选C.设圆锥的高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2,所以V=13r2h=3h(2Rh-h2)=23Rh2-3h3,V=43Rh-h2,令V=0,得h=43R.当0h0;当4R3h2R时,V400,则总利润最大时,每年生产的产品是()A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位【解析】选D.设总成本为C元,总利润为P元,则C=20000+100x,P=R-C=300x-x22-20 000,0x400,60 000-100x,x400,所以P=300-x,0x400,-100,x400,令P=0,得x=300.当0x0;当x300时,P0),令l=-512y2+2=0,解得y=16(另一负根舍去),当0y16时, l16时, l0,所以当y=16时,函数取得极小值,也就是最小值,此时x=51216=32.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016大连高二检测)某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当每件商品的定价为元时,利润最大.【解析】利润s(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,s(x)=-2x+230.由s(x)=0,得x=115,这时利润最大.答案:1157.(2016洛阳高二检测)某公司一年购买某种货物400吨,每次购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x为吨.【解析】设该公司一年内总共购买n次货物,则n=400x,所以总运费与总存储费之和f(x)=4n+4x=1 600x+4x,令f(x)=4-1 600x2=0,解得x=20(-20舍去),当0x20时,f(x)0,当200,所以x=20是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,故当x=20时,运费与总存储费之和最小.答案:208.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+275x3,产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为.【解析】设产品单价为a元,产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=250000,a=500x.总利润y=500x-275x3-1200(x0),y=250x-225x2,由y=0得x=25.当x(0,25)时,y0,当x(25,+)时,y0,所以当x=25时,y取最大值.答案:25件三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016石家庄高二检测)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?【解析】设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k=6103=0.006.于是有p=0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为1v小时,所以行驶1千米的总费用为q=1v(0.006v3+96)=0.006v2+96v.q=0.012v-96v2=0.012v2(v3-8000),令q=0,解得v=20.当v20时,q20时,q0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少.10.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x0,f(x)是增函数;当x59,1时,f(x)0,f(x)是减函数.所以当x=59时,f(x)取极大值,f59=20000,因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值.所以当x=59时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016长沙高二检测)若球的半径为R,作内接于球的圆柱,则其侧面积的最大值为()A.2R2B.R2C.4R2D.12R2【解析】选A.设内接圆柱的高为h,底面半径为x,则x=R2-h24,所以S侧=2xh=2hR2-h24=2R2h2-h44,令t=R2h2-h44,则t=2R2h-h3,令t=0,得h=2R(舍去负值)或h=0(舍去),当0h0,当2Rh2R时,t0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为.【解析】依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0x0.048),故y=0.096kx-3kx2.令y=0,解得x=0.032或x=0(舍去).当0x0;当0.032x0.048时,y0),则f(x)=1-4x2,由f(x)=0得x=2.当0x2时,f(x)2时,f(x)0,所以f(x)在x=2处取得极小值4,也是最小值.所以Tmin=80+204=160.答案:160【补偿训练】(2016亳州高二检测)某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0t30,tZ)的关系大致满足f(t)=t2+10t+12,则该超市前t天平均售出(如前10天的平均售出为f(10)10)的月饼最少为.【解析】记g(t)=f(t)t=t+12t+10(00,得t23,令g(t)0,得0t23,所以函数g(t)在区间(0,23)上单调递减,在区间(23,10)上单调递增,又tZ,且g(3)=g(4)=17,所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.答案:17个三、解答题(每小题10分,共20分)5.某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解析】(1)若商品降低x元,则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件,得k22=24,解得k=6.若记一个星期的商品销售利润为f(x),则有f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x0,21.(2)对(1)中函数f(x)求导得f(x)的变化情况如下表:x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)-0+0-f(x)9 072极小值极大值0所以当x=12时,f(x)取得极大值.因为f(0)=9072,f(12)=11664,f(21)=0,所以定价为30-12=18(元),能使一个星期的商品销售利润最大.6.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=1128 000x3-380x+8(0x120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?【解析】(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5(小时),此时的耗油量为1128 000403-38040+82.5=17.5(升).因此当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地需要耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时的时候,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时.设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=1128 000x3-380x+8100x=11 280x2+800x-154h(x)=x640-800x2=x3-803640x2.令h(x)=0,得x=80.考虑到0x120,当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25(升).因为h(x)在(0,120上只有一个极值,所以11.25是最小值.答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
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