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2019-2020 年高考数学专题复习 平面向量 1.向量平行与共线： 为不平行向量，已知， ，且（共线） ，则有结论： 2.两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量与，作， ，则 叫与的夹角， 3.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，与的数量积记作 ，即有 并规定与任何向量的数量积为 当与同向时， ， ，当与反向时， 4.（1）已知两个非零向量， ， 则 （2）设，则 ， （3）已知， ，那么 ， 5.设， ，则有： （1）两个非零向量平行的充要条件： 当时，与方向 ，此时 ， 当时，与方向 ，此时 ， （2）两个向量垂直的充要条件： （3）两向量夹角的余弦值 6.投影的概念： 定义： 叫做向量在方向上的投影，在的投影为 已知，则在轴上的投影为 ，在轴上投影为 7.平行四边形法则： 以为邻边作平行四边形，则有 （1）两条对角线 （2）当时，四边形为 （3）当时，与的夹角是 与的夹角是 （4）当时，与的夹角是 （5）当时，四边形为 （6）当时，与的夹角是 （7）当时，与的夹角是 , （8）已知 1,0bacbac，则 8.三点共线： 1.中，点在底边上，且满足，则用向量表示 2.中，点在底边上，且满足，则用向量表示 3.中，点在底边上，且满足，则用向量表示 4.中，点在底边上，且满足，则用向量表示 5.中，点在底边上,平分，则有结论： = （1）由三角形面积公式 ，有 （2）由三角形面积公式 ，有 6.中，点在底边上，平分,且满足，则用向量表示 7.中，平分，,则 8.重心： 的交点 点为的重心，则有结论： ， ， A B C P A B C P 9.垂心： 的交点 点为的垂心，则有结论： ， 10.内心： 的交点 点为的内心，则有结论： 11.外心： 的交点 点为的外心，则有结论： , 12.四心合一：当一点满足是三角形内心、外心、重心、垂心中任意两个时，此三角形必为 三角形138.,27.365.43.2,.27 菱 形矩 形 .4BCnmAnAECBOEA,87.9.O等 边12.1.10OCBA 练习： 1.设，求 2.若，则 3.(1)若且 , 求点的坐标 (2)已知与共线，且，求点的坐标 4.在平行四边形中，设,，,则下列等式中不正确的是 （ ） A B C D O A B CD E 5. 为不共线向量，, baCDbaB35,4,下列关系式中正确的是 （ ） A B C D 6.向量=,=且,则= 7.已知=,=,若与-平行,则的值为 8.已知两向量、不共线,=,=-,若与共线,则实数= 9.若三点共线，则的值 10.已知四点坐标分别 2,04,3,0,1DCBA，则四边形的形状 11.平面向量 ),2(),(),43(ycxba已知， ，求及夹角 12.已知，则为 三角形 13.已知=，=，则= 14.若=,=,则 15.已知,与的夹角为，则()(-)= 16.已知 3123,4baba E FD CB A （1）求的值 （2）求的夹角 （3）求的值 17.已知， ， ，则与的夹角为 ，在的投影为 18., 与的夹角为，则在的投影为 19.若则与的夹角的余弦值为 ，在的投影为 和平行的单位向量（ ） ，和垂直的单位向量（ ） 20.若向量，在上的投影为 ，在轴上的投影为 21.如图,分别是的边的中点，则 （ ） A B C D 22（04 山东）已知均为单位向量，它们的夹角为， 那么 （ ） A B C D 23.在平行四边形中，为一条对角线， (2,4)(1,3)AB则 （ ） A B. C. D. 24.已知， ，若，则实数的值为_ 25.已知点，则与共线的单位向量是 26.非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为 27.已知的面积为，在所在的平面内有两点，满足 0,PACQBC，则的面积为 28.（15 山东文）过点 作圆的两条切线，切点分别为，则 . 29.（15 山东理）已知菱形的边长为 ,则 （ ） A. B. C. D. BB)5.(48,35,21)3.(72.()1， 1352453,16)9(,2)18.(37.,26)1( ，)(.50CA.98.7.2.54 Dt xx 高考数学真题汇编:平面向量 定义运算： 1.若向量，则 ( ) 2.若向量满足/， ，则 3.设向量 , 则下列结论中正确的是 （ ） A B C D与垂直 4.已知向量 badkcba,10, ，如果，那么 （ ） A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向 A 平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 6.若向量满足， ，则 7.已知是夹角为的两个单位向量， ，若，则的值为 8.已知均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题真命题是 （ ）32,01:1bap 、 ,321:2bap,3 ,4 A B C D 9.定义向量一种运算“”如下：对任意的，令，下面错误的是（ ） A若与共线，则 B C对任意的，有 D. 222baba 10.一质点受力处于平衡状态成角，且，的大小为，则的大小为 11.已知向量满足则 12.若非零向量满足，则与的夹角为 13.若向量满足， ， ，则向量与的夹角为 14.已知向量夹角为，且，则 15.直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则 16.已知点、 、 、,则向量在方向上的投影为 （ ） A B C D 17.已知是边长为 1 的等边的中心，则的值为 投影： 18.设为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同， 则与满足的关系式为 （ ） A B C D 19.设，在上的投影为，在轴上的投影为，且，则= （ ） A B C D 几何意义： 20.已知两个非零向量满足，则下面结论正确 （ ） 21.设是两个非零向量正确的是 （ ） 若，则存在实数，使得 若，则 若，则 若存在实数，使得，则 22.两非零向量满足，则向量与的夹角是 23.设点是线段的中点，点在直线外， 216,BCABAC则（ ） A B C D 24. 已知非零向量满足，则与的夹角为_ 25.三角形的外接圆半径为 1，圆心，已知，则 26.在四边形中， 13(,)|ABDCBACBD，则四边形的面积为 27.给出下列命题中， 非零向量满足，则的夹角为 已知非零向量则是的夹角为锐角的充要条件 将函数的图像按向量=平移，得到的图像对应的函数表达式为 若 0ACBA，则为等腰三角形.以上命题正确的是 28.直线与圆交于两点，且，为坐标原点，则 29.(1) 已知，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是 (2) 已知，将向量按顺时针旋转后，得向量,则点的坐标是 （3）已知，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是 （ ） 30.设非零向量满足，则的夹角为 （ ） A B C D 31.（11 山东理科）坐标系中两两不相同的四点，若， ， 且，则称调和分割，已知平面上的点调和分割点，则下面说法 正确的是 （ ） A可能是线段的中点 B可能是线段的中点 C可能同时在线段上 D不可能同时在线段的延长线上 32.平面上三点不共线，设,则的面积等于 （ ） A B C D 33.设向量满足， ， ，则的最大值等于 （ ） A2 B C D1 34.若均为单位向量，且， ，则的最大值为 （ ） A B1 C D2 三点共线： 35.（09 山东）设是所在平面内的一点,，则 （ ） A. B. C. D. A B C P 36.中，点在上， ， ，则= （ ） A B C D 37.在中， ，是上的一点，若，则实数 38.是平面上一点，点是平面上不共线的三点， 平面内的动点满足 ，若，则的值为 39.中，点在上,平分若， ， ，则=（ ） A B C D 40.中,边上的高为,若 1,2,0, babBaA，则 （ ） （2）中，的平分线交边于点，且，则的 长为 (3)如图,在中,为中点,若, ,则_ （4）中，在边上,等差数列中，满足，求和 41.若为边沿及内部一点，且满足，求与的面积之比 42.中，在上,平分若， 三角形法则 43.（1）若，则必定是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 （2）在中，若 BAA2 则是 （ ） A等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 44.在正三角形中，是上的点， ，则 45.（1）在中， ， ，是边的中点，则 （2）在中， PBAC,30,2为边中线上的任意一点，则 46.在平行四边形中，垂足为，且则= A D B C P 47.在边长为的正三角形中, 设，则=_ 48.在中， ， ， ，则= 49.为等边三角形,， ，若，则 （ ） 四心问题： 50.已知在所在平面内，且 0,NCBAOA，且 PCABPA ，则点依次是 的 （ ） A重心 外心 垂心 B外心 垂心 重心 C外心 重心 垂心 D外心 重心 内心 51.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 52.若的外接圆的圆心为，半径为， ，则 ( ) A B C D (53). 1.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 2.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 )coscs(CABAP， ，则点的轨迹一定通过的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 3.已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足： ，则的值为 （ ） A2 B C3 D6 4.点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ） A B C D 5.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若， 则是的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 6.是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足 OCBAOP2123， 则点一定为的 ( ) A.边中线的中点 B.边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.边的中点 7. 设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是 （ ） D且 8.在中，已知 0BCA，且,则为 三角形 9.已知为的外接圆的圆心，满足 AOmCB2sincosic ，则等于 （ ） A. 1 B. C. D. 10 已知是所在平面内一点,为边中点，且， ， 11.若 1,23,iAnAOB是 所在的平面内的点，且.给出下列说法： O； 的最小值一定是 点在一条直线上 向量及在向量的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 12.中，设，那么动点的轨迹必通过的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心 54.矩形中,为中点,在上,若,则的值是 设分别是的斜边上的两个三等分点，已知，则 55.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点在以为圆心的圆弧上 变动. 若其中, 则的最大值是_，的最大值是_ 56.正方形边长为，是边上的动点，则的值为_，的最大值为 57.平行四边形中， 06,1,2ADAB,在边上， ，则 58.直角梯形，, 4,12DCBA， ,是腰上动点， 最小值 59.(山东)已知向量与的夹角，且，若，且， 则实数的值为 60.是半径为 1 的圆上两点，且若点是圆上任意一点，则的取值范围为 61. 在边长为 1 的正中，为边上一动点，则的取值范围是 62.是 圆 的 直 径 ,是 圆 弧 上 的 点 ,是 直 径 上 关 于 对 称 的 两 点 ,且 ,则 （ ） A B C D 63.在平行四边形中,，边、的长分别为，若、分别是边、 上的点，且满足，则的取值范围是 . 64.中, ,(1),APBQACR .若,（ ） A B C D 65. 已知， ，与的夹角为， ，则与的夹角为 66. 已知， ， ， ，若则实数等于 ( ) A. B. C. D.3 67.两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， 68.设是单位向量，且，则的最小值为 （ ） A B C D 69（xx 山东）已知菱形的边长为 ,则 （ ） （A） （B） （C） （D） 70.在中，是的中点， ，点满足 2,()PAMPBC则 （ ） A B C D 71.在中，点是上一点，且,是中点，与交点为，又 ，则的值为 72.平行四边形中，点是边（靠近点）的三等分点，是（靠近点）的三等分点， 是与的交点，则表示为 73.（三角形法则）中， CDEABD,3,2与交于， ,()ABaCbFxayb则 为（ ） A B C D 74.中，点是边的中点，是边（靠近点）的三等分点，交于点，则用向量 表示= 75.在中,，则 ABCBA = （ ） A B C D 76.若函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量 77.在中，角所对的边分别为，若，那么 78.已知，点在第一象限内， ，且，若，则+的值是 79.（三点共线）四边形是正方形,延长至,使得.若动点从点出发,沿正方形 的边按逆时针方向运动一周回到点,其中,下列判断正确的是（ ） A.满足的点必为的中点 B.满足的点有且只有一个 C.的最大值为 D.的最小值不存在 80.在中, 1,3,2BCAAB，则 （ ） A B C D 81.设单位向量.若,则_ 82.已知向量,则与同向的单位向量的坐标表示为_，向量与向量 夹角的余弦值为_. 83.中,是中点，, 点在上且满足,则等于（ ） A B C D 84.在中，且，点满足，则 85.在边长为 1 的正， ，是的中点，则= （ ） A B C D 86.已知(其中为正数)，若，则的最小值是 ( ) A2 B C4 D8 87.已知向量=,若，则的最小值为 88.若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的 夹角的取值范围是 89.在中，是的中点， ，则_ 90.直线与圆相交于两点，若，则等于 ( ) A B C7 D14 91.定义：，为向量与的夹角，若， ， ，则=（ ） A B C或 D 92.，对任意，恒有则 （ ） (A) (B) (C) (D) 93.已知是同一平面内的三个向量，其中若，且，求的坐标 若且与垂直，与的夹角= 94.向量 ,2,3zybzxa且若满足不等式，则的取值范围为 95.在正中，是上的点， ，则 96.已知向量， ，向量 （）若，求的值 （）若恒成立，求实数的取值范围 97.已知向量， （）若，求 （）求的最大值 98.（重心）已知是所在平面内一点,为边中点，且，那么 （ ） 99.已知向量，则在方向上的投影为 100.设向量满足：以的模为边长构成三角形，则它的边与半径 为的圆的公共点个数最多为 （ ） A B C D 101.已知点 sin2,co,1,，为坐标原点 （）若,求的值 （）若实数满足,求的最大值 102.在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数，使得，则的取值范围是 （ ） A B C D 103.在直角中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则等于 104.中， ,7,3,2, BCAO则= 106. 给出以下四个命题，错误命题的序号是 对任意两个向量,都有| =| 若,是两个不共线的向量，且 ),(, 2121 Rbab，则共线 若向量 (cos,in),(cosin)ab ，则与的夹角为 若向量满足 3|4|3| a，则的夹角为 107.在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 （ ） A. B. C. D. 22()()ACBD 108.（不等式）已知圆的半径为，为两条切线，为两切点，那么的最小值为 109.已知 sin,co,31,0BCOA，则的夹角取值范围是 110.为具有相同起点的三个非零向量，且与不共线， ， ,则的值等于（ ） A.以为邻边的平行四边形的面积 B. 以为两边的三角形面积 C.以为两边的三角形面积 D. 以为邻边的平行四边形的面积 111.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚 动，当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_ 112.如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点， 设向量，则的最小值是 113.若非零向量满足，则下列结论一定成立的是 （ ） A. B. C. D 114. 在中， PBAC,30,2为边中线上的任意一点，则 .432:108.4.23.54140.398.1736.54.32 10.5,5,6,29.8.275210 9867.12.34.11.0.9.06.4.37,92. BDbaCDABBAC AD， 52481， COBA63MC 202.30987等 边 1,36759.817.56,1254， 02965.4,63., BtC ACBPABDyxB 52743.107243.069.823,167. ，57.8543，CD.13,492. ， 12,49.3m02,0,10 baPbBaA AC10.65,29308.7061524 ,sinsinco, hch xx 高考数学一轮复习测试题：平面向量 1.已知平面向量,且,则实数的值为 （ ） A B C D 2.设为平面上四点, (1),(0,1)OMAOB,则 （ ） A.点在线段上 B.点在线段上 C.点在线段上 D.四点共线 3.已知,则向量的夹角为 （ ） A B C D 4.如图,在边长为的菱形中,为中点,则 （ ） A B C D 5.在中,是的重心,的边长分别为,.则= （ ） A B C D- 6.若函数 102,36sin2xxxf的图像与轴交于点,过点的直线与函数的图像交于 两点,则 （ ） A B C D 7.若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为 （ ） A B C D 8.若等边的边长为，平面内一点满足，则 ( ) A1 B C D 9.在中， ， ，点是内一点，则的最小值是（ ） A B C D 10.若向量与的夹角为，且，则有 （ ） A. B. C. D. 11.向量若与共线，则等于 （ ） A B C D. 12.在直角梯形中， ， ， ，动点在以点 为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设则取值范围是 （ ） A B C D 13.平面上有四个互异的点，满足 0CDAB，则是 （ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 14.设单位向量 121212,eee满 足 则 15.已知向量、的夹角为，且， ，则向量与向量的夹角等于 16.若向量=,=，在上的投影为 17.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上变动. 若其中, 则的最大值是_ 18.如图，在直角梯形中， PDCABCA,1,2,/ 是线段上一动点，是线段 上一动点， ,(1)DQP，则的取值范围是 19.中，的平分线交于点，若， ，则的长为 20.在边长为的等边中，设 ,BCaAbBcabca， 则 21.已知是圆上的动点，定点，则的最大值 22.在中，是边中点，角的对边分别是若， 证明的形状为等边三角形 23.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于 A,B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点 C 满足,则_. 24.在中，E 为 AC 上一点，为 BE 上任一点，若 0,APmBn，则的最小值是 A.9 B.10 C.11 D.12 25.在平面直角坐标系中，O 为原点， ，动点 D 满足 ，则 的最大值是_.