2019-2020年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题10 圆锥曲线（含解析）.doc

2019-2020年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题10 圆锥曲线（含解析）椭圆的定义与标准方程、几何性质【背一背重点知识】1.椭圆的定义：（1）第一定义：平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹.（2）第二定义：平面内与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e0)3. 几何性质：（1）范围（2）中心坐标原点（3）顶点（4）对称轴轴，轴，长轴长，短轴长（5）焦点焦距，（）（6）离心率，（）（7）准线（8）焦半径（9）通径（10）焦参数【讲一讲提高技能】1. 必备技能：（1）要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”内的限制条件）解决有关问题，如果涉及到其两焦点(或两相异定点)，那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用。（2）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在（3）求椭圆的标准方程定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程（4）椭圆中有一个十分重要的OF1B2(如图)，它的三边长分别为.易见，且若记，则.（5）在掌握椭圆简单几何性质的基础上，能对椭圆性质有更多的了解，如：与分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值；椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长，过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值（6）共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2. 典型例题：例1已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为（ ）A. B. C. D. 分析：直线过椭圆的焦点，因此可联想椭圆的定义，确定长轴长、焦距，进一步确定椭圆方程.例2设为椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，且，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：根据向量数量积的性质，由得中利用三角函数的定义算出，利用勾股定理算出，进而得到长轴，即可算出该椭圆的离心率，故选D【练一练提升能力】1.设，是椭圆：=1（0）的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的 等腰三角形，则的离心率为A B C D【答案】C【解析】2. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 .【答案】【解析】设，则由两式相减变形得：即，从而 双曲线的定义与标准方程、几何性质【背一背重点知识】1.双曲线的定义：（1）第一定义：平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a0,b0)3. 几何性质：（1）范围（2）中心坐标原点（3）顶点（4）对称轴轴，轴，实轴长，虚轴长（5）焦点焦距，（）（6）离心率，（）（7）准线（8）渐近线：（9）焦半径（10）通径（11）焦参数【讲一讲提高技能】1.必备技能：A求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c即可求得方程(2)待定系数法，其步骤是：定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数B几种特殊情况的标准方程的设法(1)与双曲线共渐近线的双曲线方程为(2)渐近线为的双曲线方程为(3)与双曲线共焦点的双曲线方程为(4)与椭圆有共同焦点的双曲线方程为C双曲线渐近线的斜率与离心率的互化渐近线的斜率为或，它与离心率可通过以下关系联系起来：.D直线与双曲线的位置关系问题，通常涉及双曲线的性质、最值、弦长、垂直、中点等问题解决的方法通常是把双曲线方程C：与直线方程l：ykxm(m0)联立消去y，可整理成的形式，当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个交点，也就是说“直线l与双曲线C有一个交点”是“直线与双曲线相切”的必要而不充分条件当，即时，再通过研究整理出来的一元二次方程去解决有关弦长、最值等问题2.典型例题：例1已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）A. B. 3 C. D. 分析：要求点到的一条渐近线的距离，一是要明确渐近线的方程；二是明确的坐标，而这些当转化得到双曲线的标准方程后，不难得到例2双曲线的两个顶点三等分焦距，则双曲线的离心率为（ ）A4 B3 C2 D1【答案】B【解析】试题分析：因为双曲线的两个顶点三等分焦距，故选B【练一练提升能力】1. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 （）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由已知得在方程中令，得所求双曲线的方程为，故选A2.已知点是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）A4 B C2 D【答案】C【解析】抛物线的定义与标准方程、几何性质【背一背重点知识】1. 抛物线的定义：平面内与定点和直线的距离相等的点的轨迹. （e=1）2.图形与方程（以一个为例）图形标准方程： 3. 几何性质：（1）范围经，（2）中心无（3）顶点（4）对称轴轴（5）焦点焦距无（6）离心率（7）准线（8）焦半径（9）通径（10）焦参数【讲一讲提高技能】1必备技能：A对于抛物线的标准方程与，重点把握以下两点：(1)是焦点到准线的距离，恒为正数；(2)方程形式有四种，要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”B抛物线的几何性质以考查焦点与准线为主根据定义，抛物线上一点到焦点的距离和到准线的距离相等，可得以下规律：(1)抛物线上一点到焦点的距离； (2)抛物线上一点到焦点F的距离；(3)抛物线上一点到焦点F的距离；(4)抛物线上一点到焦点F的距离.C直线与抛物线的位置关系类似于前面所讲直线与椭圆、双曲线的位置关系特别地，已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，设则有以下结论：(1)，或 (为所在直线的倾斜角)；(2)；(3).过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为.2典型例题：例1设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则 （ ）（A） （B） （C） （D）分析：要求，须将抛物线方程与直线方程联立，确定交点坐标关系，以应用焦半径公式.例2直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是6，的中点到轴的距离是1，则此抛物线方程是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：直线经过焦点，所以（为两点的纵坐标），故依题意中点的纵坐标为，即，解得，所以此抛物线的方程为，故选B【练一练提升能力】1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于两点若线段的中点为，则直线的方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】2. 已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）A B C D【答案】C【解析】由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，则直线AF的斜率，选C （一） 选择题（12*5=60分）1. 已知椭圆的焦点是，是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是（ ）A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线【答案】A【解析】试题分析：根据椭圆的定义可知，因为，所以，即，根据圆的定义，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故选A2. 双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由于对称性，我们不妨取顶点，取渐近线为，所以由点到直线的距离公式可得.3. 椭圆的一个焦点为，点在椭圆上如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是（ ）A B C D【答案】A【解析】4.椭圆的一个焦点为，点在椭圆上如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：设为椭圆的另一焦点，则由题易知轴，即为通径的一半，所以，所以点的纵坐标为，故选A5. 若实数满足，则曲线与曲线的（ ）A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D6.已知双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别为Fl,F2,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为（）ABCD【答案】C【解析】由题意可知，则，由条件得，在上，即，由得，双曲线为.选C.7.设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若则点的坐标为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】8.已知分别是双曲线的左右焦点,若关于渐近线的对称点为,且有,则此双曲线的离心率为（）ABCD2【答案】D【解析】如图，作出双曲线的两条渐近线，两焦点为交渐近线于，则是的中点，而又是的中点，故有，从而，在中，则，于是，所以，从而9. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.2【答案】A10.设抛物线的焦点为,点在上,若以为直径的圆过点,则的方程为（ ）A或 B或C或 D或【答案】C【解析】试题分析：因为抛物线方程为，所以焦点，设，由抛物线性质，可得，因为圆心是的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，由已知圆半径也为，据此可知该圆与轴相切于点，故圆心纵坐标为，则点纵坐标为，即，代入抛物线的方程得，所以或所以抛物线的方程为或11.已知斜率为2的直线双曲线交两点，若点是的中点，则的离心率等于（ ）（A) (B) 2 (C) (D) 【答案】D12. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，过作准线的垂线，垂足是，由对称性，不妨令在第一象限，问题等价于求的最小值，而，当且仅当时等号成立，此时，故选C（二） 填空题（4*5=20分）13. 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 【答案】【解析】14. 已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线的焦点重合，一个顶点的坐标为，则此椭圆方程为 【答案】【解析】此椭圆的方程是标准方程，抛物线的焦点为，说明椭圆的焦点在轴上，且，又顶点的坐标为说明，从而，故椭圆方程为15.已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点若，则_【答案】【解析】16.在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点. 设原点到直线的距离为，点到的距离为. 若，则椭圆的离心率为 .【答案】 【解析】依题意，作于，则，又，解得，而椭圆准线的方程为， ，设直线与轴交于，则点到直线的距离，整理的，两边平方，又，解得.