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第2讲 概率,专题七 概率与统计,高考真题体验,热点分类突破,高考押题精练,栏目索引,高考真题体验,1,2,3,4,1.(2015广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ),B,1,2,3,4,2.(2015课标全国)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 解析 3次投篮投中2次的概率为,投中3次的概率为P(k3)0.63，,1,2,3,4,所以通过测试的概率为P(k2)P(k3),答案 A,1,2,3,4,A.p1p2p3 B.p2p3p1 C.p3p1p2 D.p3p2p1,1,2,3,4,1,2,3,4,答案 B,1,2,3,4,4.(2015浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中. (1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2)； (2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1,2). 则( ) A.p1p2，E(1)E(2) C.p1p2，E(1)E(2) D.p1p2，E(1)E(2),1,2,3,4,解析 随机变量1，2的分布列如下：,1,2,3,4,所以E(1)E(2).,1,2,3,4,答案 A,考情考向分析,1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率； 2.二项分布、正态分布的应用是考查的热点； 3.以解答题形式考查离散型随机变量的分布列，属于中档题目.,热点一 古典概型和几何概型,热点分类突破,1.古典概型的概率,2.几何概型的概率,例1 (1)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球， 则这2只球颜色不同的概率为_.,(2)(2015福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐 标为(2,4)，函数f(x)x2，若在矩形ABCD内随机取 一点，则此点取自阴影部分的概率等于_. 解析 由题意知，阴影部分的面积,思维升华,(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识. (2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性. (3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解.,跟踪演练1 (1)(2014广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_. 解析 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，,记事件“七个数的中位数为6”为事件A，,从区间1,5和2,4分别取一个数，记为a，b， 则对应的点(a，b)在矩形ABCD内部(含边界)，作直线b2a， 矩形ABCD内部满足b2a的点在ABM内部(不含线段AM)，,热点二 相互独立事件和独立重复试验,1.条件概率 在A发生的条件下B发生的概率：,2.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)P(A)P(B).,3.独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为,解 设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么,(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 解 设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D. “系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk. 则DD0D1，且D0、D1互斥.,思维升华,求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点： (1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解. (2)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.,跟踪演练2 (1)从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为( ),解析 记“抽到的两张中至少一张是假钞”为事件A， 记“抽到的2张都是假钞”为事件B，,A,(2)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( ),解析 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形； 若摸出的两球是2,6，也能获奖.,现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是,答案 B,热点三 离散型随机变量的分布列,1.设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi的概率为P(Xxi)pi，则称下表：,为离散型随机变量X的分布列.,2.E(X)x1p1x2p2xipixnpn为X的均值或数学期望(简称期望). D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn叫做随机变量X的方差.,例3 (2015天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；,(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 解 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.,所以随机变量X的分布列为,思维升华,解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值. (2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值. (3)根据分布列和期望、方差公式求解.,跟踪演练3 (1)有三位同学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼物的人数为，则的数学期望E()_.,1,随机变量X的分布列为,高考押题精练,1,2,3,押题依据 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注.,1,2,3,解析 依题意得P(70110)0.6， P(110)0.30.50.8，P(110)0.2， 于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有 0.21 000200(人). 答案 A,1,2,3,押题依据 二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点.,1,2,3,解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)， 所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，,1,2,3,(1)列出随机变量的分布列； (2)求的数学期望E().,1,2,3,押题依据 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的均值.,解 依题意知，的所有可能取值为2,4,6. 设每2局比赛为一轮，,若该轮结束时比赛还将继续， 则甲、乙在该轮中必是各得1分，,1,2,3,此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.,所以的分布列为,
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