2019-2020年高三数学上学期期中联考试题 理（含解析）新人教A版.doc

2019-2020年高三数学上学期期中联考试题 理（含解析）新人教A版【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。紧扣考纲，注重双基.本次期末考试有很多题目源于课本。2、突出重点和数学思想.试题对本部分各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识和数学思想的考察。对学生的综合能力要求较多，在知识交汇点处设置考题。第卷（选择题 共50分）一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1设复数，若，则的值为( ) A B C D【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】【解析】A 解析：=，即x=2故选：A【思路点拨】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数，然后由虚部为0即可求出x的值【题文】2若，则正数的值为( ) A0 B1 C0或 D【知识点】定积分B13【答案】【解析】B 解析：=，解得k=1或k=0（舍去），故选：B.【思路点拨】根据定积分的计算即可【题文】3.函数的定义域是 ( ) A B C D【知识点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法B1 B7【答案】【解析】D 解析：要使函数有意义，需,即0x1故函数的定义域为,故选D【思路点拨】令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x的范围即为定义域【题文】4.平面向量，的夹角为， 则（ ） A B C D 【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】A 解析：由,得；又因为平面向量，的夹角为，所以根据已知条件可得：故选A【思路点拨】根据已知条件可求出，又知夹角以及，从而能求出。【题文】5. 已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案】【解析】B 解析：，即（x2）（x+1）0，x2或x1，是的充分不必要条件，k2，故选：B【思路点拨】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【典例剖析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础【题文】6. 若则（ ） A. B C. D【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值C7【答案】【解析】C 解析：，,sin（），sin（）=cos（）（）=cos（）cos（）+sin（）sin（）=,故选C【思路点拨】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（）和sin（）的值，进而利用cos（）（）通过余弦的两角和公式求得答案【题文】7. 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】D 解析：由题意作出其平面区域，则由目标函数的最大值为8，则由得，4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）故选D【思路点拨】由题意作出其平面区域，求出目标函数的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解【题文】8已知数列是等差数列，若axx+axx0，axxaxx0，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ） A4029 B4028 C4027 D4026【知识点】等差数列的性质D2【答案】【解析】A 解析：an是递增的等差数列，又axx+axx0，axxaxx0axx0，axx0，数列的前xx项为负数，从第xx项开始为正数，由求和公式和性质可得S4027=4027axx0，S4028=xx（a1+a4028）=xx（axx+axx）0，S4029=4029axx0，Sn取得最小正值时n等于4029,故选：A【思路点拨】由题意易得列的前xx项为负数，从第xx项开始为正数，由求和公式和性质可得S40270，S40280，可得答案【题文】9. 在实数集中定义一种运算“”，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，； （2）对任意，关于函数的性质，有如下说法：函数的最小值为；函数 为偶函数；函数的单调递增区间为其中正确说法的序号为（ ） ABC D【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案】【解析】B 解析： =（ex）+（ex）*0+*0=1+ex+，对于，1+ex+1+=3（当且仅当x=0时取“=”），f（x）min=3，故正确；对于，f（x）=1+ex+=1+ex+ex，f（x）=1+ex+ex=1+ex+ex=f（x），函数f（x）为偶函数，故正确；对于，f（x）=exex=，当x0时，f（x）0，即函数f（x）的单调递增区间为0，），故错误；正确说法的序号为，故选：B【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+ex+ex，对于，可由基本不等式1+ex+1+=3判断其正误；对于，利用偶函数的定义可判断其正误；对于，由f（x）0，求得其单调递增区间，可判断其正误【题文】10如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在方向的投影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（） 第卷（非选择题 共100分）【知识点】函数的图象B8【答案】【解析】C 解析：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为，连接BG，可得，即BGM= ，所以tanBGA= ，由图可得当x= 时，射影为y取到最小值，其大小为（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C【思路点拨】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项【典例剖析】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法【题文】二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置)【题文】11.设集合，若,则的值是 【知识点】交集及其运算A1【答案】【解析】-1 解析：因为集合，若，又a20，当a2=0时，a=0，此时N=0，0，不符合集合元素的互异性，故a0，当a2=1时，a=1，a=1时，N=1，1，不符合集合元素的互异性，故a1，a=1，此时N=1，1,故a=1故答案为：1。【思路点拨】根据MN=N，分情况进行讨论。【题文】12.若函数且,若是偶函数，且在 内是减函数，则整数的值是_ 【知识点】函数奇偶性的性质.B4【答案】【解析】1或3 解析：由分段函数f（x）可得，b=f（f（f（0）=f（f（2）=f（1）=1，由于是偶函数，且在内是减函数，则a24a10，解得2a2+，由于a为整数，则a=0，1，2，3，4检验：只有a=1，3时，函数y=x4为偶函数，故答案为：1或3【思路点拨】运用分段函数表达式，求得b=1，再由幂函数的单调性得到a24a10，解得a，再求整数a，检验函数的奇偶性，即可得到a【题文】13.已知函数的部分图像如图，令则 【知识点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；数列的求和C4 D4【答案】【解析】0 解析：由图象可知，T=，解得T=，故有函数的图象过点（，1）故有1=sin（2+），|，故可解得=，从而有f（x）=sin（2x+）a1=sin（2+）=1，a2=sin（2+）=a3=sin（2+）=，a4=sin（2+）=1a5=sin（2+）=，a6=sin（2+）=a7=sin（2+）=1，a8=sin（2+）=观察规律可知an的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且xx=6335+4，所以有：axx=sin（2+）=1则a1+a2+a3+axx=a2011+axx+axx+axx=1+=0故答案为：0【思路点拨】先根据图象确定，的值，从而求出函数f（x）的解析式，然后分别写出数列an的各项，注意到各项的取值周期为6，从而可求a1+a2+a3+axx的值【题文】14. 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当 时，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 【知识点】抽象函数及其应用；函数的零点B9 B10【答案】【解析】 解析：f（x+2）=f（x）f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=1可得f（1+2）=f（1）f（1），又f（1）=f（1），f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），f（x）是最小正周期为2的偶函数当x2，3时，f（x）=2x2+12x18=2（x3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点f（x）0，g（x）0，可得0a1，要使函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则有g（2）f（2），可得 loga（2+1）f（2）=2，即loga32，3，解得-a，又0a1，0a，故答案为：（0，）【思路点拨】令x=1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x2，3时，f（x）=2x2+12x18，画出图形，根据函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解【题文】三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）【题文】15. (1)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆在点处的切线方程为 【知识点】简单曲线的极坐标方程N3【答案】【解析】cos=2 解析：由=2cos得，2=2cos，则x2+y2=2x，即（x1）2+y2=1，在点M（2，0）处的切线方程为x=2，所以切线的极坐标方程是：cos=2故答案为：cos=2【思路点拨】求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可【题文】(2)（不等式选讲选做题）已知函数若不等式的解集为，则实数的值为 【知识点】绝对值不等式的解法N4【答案】【解析】1 解析：函数，故有不等式可得，解得再根据不等式的解集为，可得，故答案为1【思路点拨】由不等式可得，解得再根据不等式的解集为，可得，从而求得a的值【题文】四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【题文】16（本小题满分12分）已知向量，向量，函数.(1)求的最小正周期；(2)已知，分别为内角，的对边，为锐角，且恰是在上的最大值，求，和的面积.【知识点】三角函数中的恒等变换应用C7【答案】【解析】(1) ；(2) ，解析：(1) 3分 因为，所以 5分 (2) 由(1)知： 当时,由正弦函数图象可知,当时取得最大值。 8分所以, 9分由余弦定理， 10分从而 12分【思路点拨】(1) 首项利用向量的数量积求出三角函数的关系式，进一步利用恒等变换把函数转化成正弦型函数，最后求出最小正周期 (2) 利用(1)求出A的大小，再利用余弦定理求出b的长，最后求出三角形的面积【题文】17. (本小题满分12分)已知函数（）在区间上有最大值和最小值设（1）求、的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系B5 B9【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得 5分（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故， 所以的取值范围是12分【思路点拨】（1）由函数，所以在区间上是增函数，故，由此解得a、b的值（2）不等式可化为，故有，求出的最大值，从而求得k的取值范围【题文】18（本小题满分12分）xx年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足，且,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列K6【答案】【解析】(1) 35 (2) 14（3） 解析：（1）乙厂生产的产品总数为；2分（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；4分（3）， 5分 ，8分的分布列为 11分均值12分【思路点拨】（1）利用分层抽样方法能求出乙厂生产的产品总数（2）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量（3）由题意知=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值【题文】19 （本小题满分12分）如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上（1）求证：（2）若，为的中点，求二面角的余弦值.【知识点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系G4 G5 G11【答案】【解析】(1) 见解析； (2) 解析：(1)证明：三棱柱 为直三棱柱，平面，又平面， -平面，且平面， . 又 平面,平面,，平面， 又平面， 5分 (2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系 平面，其垂足落在直线上, .在中，AB=2，,在直三棱柱 中，. 在中， , 则(0,0,0),C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量则 即 可得 设平面的一个法向量 则 即可得 平面与平面的夹角的余弦值是 12分（或在中，AB=2,则BD=1 可得D( 平面与平面的夹角的余弦值是 12分）【思路点拨】(1) 由已知得平面，由此能证明 (2) 由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值【题文】20.（本小题满分13分）已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，成等差数列；（1）求数列的通项公式；（2）已知（），记，若对于恒成立，求实数的范围。【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合.D3 D4 D5【答案】【解析】(1) ；(2) 解析：（1）4分（2）， 10分若对于恒成立，则， ，令，所以为减函数， 13分【思路点拨】(1) 设出等比数列的公比，利用对于任意的有，成等差得代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列an的通项公式可求； (2) 把（1）中求得的an和已知代入整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn代入后分离变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法【题文】21（本小题满分14分）已知函数（1）当时，求的最小值；（2）在区间内任取两个实数,若不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：（其中）.【知识点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值B12【答案】【解析】(1) ； (2) （3）见解析解析：（1）得 上递减，上递增。. 4分（2），表示点与点连成的斜率，又，即函数图象在区间任意两点连线的斜率大于1，即内恒成立.6分所以，当恒成立. 设若当上单调递减；当上单调递增8分又 故 9分（3）由（2）得，=1，+【思路点拨】（1）把a=0代入函数解析式，然后直接利用导数求最小值；（2）把化为，表示点与点连成的斜率，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，即f（x）=2ax+lnx+11在x（2，3）内恒成立然后利用分离变量法结合导数得答案；（3）由（2）得，即得到，然后利用错位相减法求数列的和，放缩后得答案