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第五节 直角三角形与勾股定理,考点一 直角三角形的性质与判定 例1 (2017江苏宿迁中考)如图，在ABC中， ACB90，点D，E，F分别是AB，BC，CA的 中点，若CD2，则线段EF的长是 ,【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB的长，然后根据三角形的中位线定理求解 【自主解答】RtABC中，ACB90，D是AB的中点，即CD是直角三角形斜边上的中线， AB2CD224. 又E，F分别是BC，CA的中点，即EF是ABC的中位线， EF AB 42.故答案为2.,应用勾股定理的注意问题 (1)应用勾股定理的前提必须是在直角三角形中； (2)当直角三角形的斜边不确定时，要注意分类讨论,1(2018江苏扬州中考)在RtABC中，ACB90， CDAB于D，CE平分ACD交AB于点E，则下列结论一定成 立的是( ) ABCEC BECBE CBCBE DAEEC,C,2(2017四川泸州中考)在ABC中，已知BD和CE分别是边 AC，AB上的中线，且BDCE，垂足为O，若OD2 cm，OE 4 cm，则线段AO的长为_cm.,考点二 俯角、仰角 例2(2018四川泸州中考)如图，甲建筑物 AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且 乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从 E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰 角为30，测得C点的仰角为60，求这两座建筑物顶端C， D间的距离(计算结果用根号表示，不取近似值),【分析】在直角三角形中，利用三角函数用AD表示出AE，DE， 用BC表示出CE，BE.根据BC6AD，AEBEAB90 m，求出 AD，DE，CE的长在RtDEC中，利用勾股定理求出CD的长,【自主解答】由题意知BC6AD，AEBEAB90 m.,3(2018湖北咸宁中考)如图，航拍无人机从 A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45，测得 底部C的俯角为60，此时航拍无人机与该建 筑物的水平距离AD为110 m，那么该建筑物的高 度BC约为_m(结果保留整数， 1.73),300,4(2018四川达州中考)在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45.问：该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值),解：如图，过点C作CDAB，交AB延长线于点D.,设CDx米 CBD45，BDC90， BDCDx米 A30，ADABBD(4x)米，,考点三 勾股定理逆定理的应用 例3(2017浙江温州中考)四个全等的直角三角形按图示方 式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面 积为S的小正方形EFGH.已知AM为RtABM较长直角边，AM 2 EF，则正方形ABCD的面积为( ),A12S B10S C9S D8S,【分析】设AM2a，BMb，则正方形ABCD的面积4a2b2， 由题意可知EF(2ab)2(ab)2ab2a2bb，由 此即可解决问题,【自主解答】设AM2a，BMb，则正方形ABCD的面积 4a2b2. 由题意可知EF(2ab)2(ab)2ab2a2bb. AM2 EF， 2a2 b，a b. 正方形EFGH的面积为S，b2S， 正方形ABCD的面积4a2b29b29S.故选C.,5如图，数轴上点A对应的数为2，ABOA于A，且AB1， 以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为 ( ),D,考点四 直角三角形全等的判定 例4(2017湖南常德中考)如图，在RtABC中，BAC 90，D在BC上，连结AD，作BFAD分别交AD于点E，AC于 点F. (1)如图1，若BDBA，求证：ABEDBE； (2)如图2，若BD4DC，取AB的中点G，连结CG交AD于点M， 求证：GM2MC；AG2AFAC.,【分析】(1)根据全等三角形的判定定理即可得到结论； (2)过点G作GHAD交BC于点H，由AGBG得到BHDH，根据已知条件及平行线分线段成比例定理求解； 过点C作CNAC，交AD的延长线于点N，则CNAG，根据相似三角形的性质得到结论,【自主解答】(1)BFAD， AEBDEB90. 在RtABE和RtDBE中， RtABERtDBE(HL),(2)如图，过点G作GHAD交BC于点H. BD4DC，G是AB的中点，GHAD， H是BD的中点， HDBH2DC. 由GHAD得 GM2MC.,如图，过点C作CNAC，交AD的延长线于点N，则ABCN， ADBNDC. BD4DC， 又BFAD，BAC90， ABEBAEFAEBAE， ABEFAE，即ABFCAN.,在ABF与CAN中， ABFCAN， AFCAABCN AB2AG2， AG2AFAC.,6(2017黑龙江齐齐哈尔中考)如图，在ABC中，ADBC于点D，BDAD，DGDC，E，F分别是BG，AC的中点 (1)求证：DEDF，DEDF； (2)连结EF，若AC10，求EF的长,(1)证明：ADBC于点D， BDGADC90. BDAD，DGDC， RtBDGRtADC，BGAC. ADBC于点D，E，F分别是BG，AC的中点， DEBE BG，DFAF AC， DEDF.,DEDF，BDAD，BEAF， BDEADF， BDEADF， EDFEDGADFEDGBDEBDG90， DEDF.,(2)解：如图所示 AC10， DEDF AC 105. EDF90， EF,7如图，在四边形ABCD中，ADBC，A90，CEBD于点E，ABEC. (1)求证：ABDECB； (2)若EDC65，求ECB的度数； (3)若AD3，AB4，求DC的长,(1)证明：ADBC，ADBEBC. A90，CEBD，ACEB. 又ABEC，ABDECB. (2)解：由(1)证得ABDECB， BDBC，BCDBDC65. DCE906525， ECBBCDDCE40.,(3)解：由(1)证得ABDECB， ABCE4，BEAD3， BDBC5，DEBDBE2， CD,易错易混点一 先入为主，高线在三角形内 例1 在ABC中，AB13 cm，AC15 cm，高线AD12 cm，则BC .,易错易混点二 忽略分类讨论直角边和斜边而漏解 例2 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB7，AD2，BC3. 设边AB上的一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P， B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有( ) A1个 B2个 C3个 D4个,
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