2019-2020年高三四校联考（理）数学试题 含答案.doc

2019-2020年高三四校联考（理）数学试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A B C D2.下列命题中，是真命题的是（）ABC已知为实数，则的充要条件是D已知为实数，则是的充分条件3. 以下四个命题中：在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模拟的拟合效果越好；其中真命题的个数为（）A B C D4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A B C D5.已知，则的大小关系为（）A B C D6.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点若，则（）A B C D7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是（）A B C D8. 某程序框图如图所示，现将输出值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是，则数组中的（）A B C D9.在直角坐标系中，点的坐标为，是第三象限内一点，且，则点的横坐标为（）A B C D10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A B C D11.现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，那么复数等于（）A B C D12.已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则_.14.已知实数、满足，则目标函数的最大值为_.15.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_.16.已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则平面四边形面积的最大值为_.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列与满足.（1） 若，求数列的通项公式；（2） 若，且对一切恒成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，与都是等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.19. （本小题满分12分）“根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在（不含）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在（含）以上时，属醉酒驾车.”年“夕”晚时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过个小时共查出喝过酒的驾车者名.下图是用酒精测试仪对这名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图.（1） 求这名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2） 求这名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3） 将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，.,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为、，则事件的概率是多少？20. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别是椭圆的左、右焦点，分别是椭圆的左、右顶点，为线段的中点，且.（1） 求椭圆的方程；（2） 若为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接.设直线、的斜率存在且分别为、.试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数为自然对数的底数).（1） 若，求函数的单调区间；（2） 若，且方程在内有解，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，交圆于两点，切圆于为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.（1） 求证：为圆的直径；（2） 若，求证：.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1） 求圆的直角坐标方程；（2） 若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1） 若不等式的解集为，求实数的值；（2） 在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.湖南省xx届高三四校联考试题数学（理科）参考答案一、选择题ADBCB CAAAB AB6. C 【解析】，因为是的中点，所以，.故选.7. A 【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，因为，所以.8. A 【解析】运行第一次，输出，；运行第二次，输出，；运行第三次，输出，；运行第四次，输出，；运行第五次，输出，；运行第六次，输出，.所以选.9. A 【解析】设，则，10. B 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，设为的中点，则.平面，为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底，下底，高；棱锥的高为，体积，故选B.11.A 【解析】（其实为欧拉公式）.12.B 【解析】先画的简图，设与相切于所以，即，可化为，设，因为，所以，又，所以，选B.2、 填空题13. 【解析】抛物线的准线方程是，双曲线的一个焦点，因为抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，所以，解得，所以答案应填：.14. 【解析】作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以.15. 【解析】，又在上单调递增，即实数的取值范围是.，即，又平面四边形面积为，即.平方相加得，当时，取最大值.16. 【解析】（1）因为，所以， .4分所以是等差数列，首项为，公差为，即. .6分（2） 因为，所以，当时， .8分当时，符合上式，所以， .9分由得， .10分，所以当时，取最大值，故的取值范围为. .12分18. 【解析】（1）取的中点，连接，则为正方形，过作平面，垂足为，连接， .2分由和都是等边三角形可知，所以，即点为正方形对角线的交点. .4分故，从而平面，所以，因为是的中点，是的中点， 所以，因此. .6分（2） 由（1）可知，两两垂直.以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系， .7分设，则， .8分设平面的法向量，取，得，即， .10分因为平面，设平面的法向量为，取，由图象可知二面角的大小为锐角， .11分所以二面角的余弦值为. .12分19. 【解析】（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在（含）以上者，共有人， .3分（2）由图知名驾车者血液的酒精浓度的平均值. .7分（3）第五组和第七组的人分别有：人，人. .9分即选的两人只能在同一组中. .12分 20. 【解析】（1），.，化简得，点为线段的中点，从而，左焦点，故椭圆的方程为. .5分（2） 存在满足条件的常数，设则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，. .7分.，从而，故点， .8分 同理，点. .9分三点共线，从而. .10分从而. .11分故，从而存在满足条件的常数，. .12分21. 【解析】（1）当， .1分令，得，.当时，. .2分当，时，或时，； .3分当，时，或时，.所以，时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，递减区间为，；时，的单调递增区间为，递减区间为，. .4分（2） 由得，由得，设，则在内有零点.设为在内的一个零点，则由知在区间和上不可能单调递增，也不可能单调递减，设，则在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点. .5分，.当时，在区间上递增，不可能有两个及以上零点； .6分当时，在区间上递减，不可能有两个及以上零点； .7分当时，令得，所以在区间上递减，在上递增，在区间上存在最小值. .8分若有两个零点，则有：，. .9分设，则，令，得.当时，递增，当时，递减，所以恒成立. .10分由，得.当时，设的两个零点为，则在递增，在递减，在递增，所以，则在内有零点.综上，实数的取值范围是. .12分22. 证明：（1），为切线，. .2烦恼， .4分，为圆的直径. .5分（2） 连接，为圆的直径， .6分在与中， .7分， .8分，为直角，为圆的直径， .9分为圆的直径，. .10分23. 【解析】（1）因为圆的极坐标方程为，所以， .2分又，所以，所以圆的普通方程为. .5分（2） 解法1：设，故圆的方程，所以圆的圆心是，半径是，将代入得，又直线过，圆的半径是，所以，所以，即的取值范围是. .10分解法2：直线的参数方程化成普通方程为：， .6分由解得， .8分是直线与圆面的公共点，点在线段上，的最大值是，最小值是，的取值范围是. .10分24. 【解析】（1）由得，即，. .5分（2） 由（1）知，令，则， .8分的最小值为，故实数的取值范围是. .10分