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试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科） 20104本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，则=开始输入输出 结束是否A.B. C. D.2. 已知i为虚数单位，若复数i为实数，则实数的值为A B C D或3. 在长为3m的线段上任取一点, 则点与线段两 端点、的距离都大于1m的概率是A. B. C. D.4. 如图1的算法流程图, 若, 则的值为 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“” 或“：=”) A. B. C. D. 图15. 命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是A若是偶数，则与不都是偶数 B若是偶数，则与都不是偶数C若不是偶数，则与不都是偶数 D若不是偶数，则与都不是偶数6. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为A. B. C. D. 7. 若且, 则下列不等式成立的是A. B. C. D. 8. 函数是A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的奇函数 9. 高m和m的两根旗杆笔直地竖在水平地面上, 且相距m , 则地面上观察两旗杆顶端 仰角相等的点的轨迹为A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 10. 已知函数,若且,则下列不等式中 正确的是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）11已知向量,满足,=2, , 则与的夹角大小是 .12. 已知双曲线:的离心率, 且它的一个顶点到相应焦点的距离为, 则双曲线的方程为 . 13.图2是一个有层的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,第层每边有个点, 则这个点阵的点数共有 个. 图2（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线的参数方程为(参数R), 圆的参数方程为(参数), 则直线被圆所截得的弦长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆的两条弦 和相交于点, 为的中点, , 则弦的长度为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. （本小题满分12分） 已知. (1) 求的值; (2) 求的值.17. （本小题满分12分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：序号1234567891011121314151617181920数学成绩9575809492656784987167936478779057837283物理成绩9063728791715882938177824885699161847886若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀（1）根据上表完成下面的22列联表(单位:人)：数学成绩优秀数学成绩不优秀 合 计物理成绩优秀物理成绩不优秀合 计20（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有 关系？（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门 不优秀的概率.参考数据: 假设有两个分类变量和,它们的值域分别为和,其样本频数列联表(称 合计合计 为列联表)为: 则随机变量,其中为样本容量；独立检验随机变量的临界值参考表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818. （本小题满分14分）在长方体中, , 点是的中点,点是的中点.(1) 求证: 平面;(2) 过三点的平面把长方体截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值. 19. （本小题满分14分） 我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的. 某市用水收费标准是：水费基本费超额费定额损耗费,且有如下三条规定： 若每月用水量不超过最低限量立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费元； 若每月用水量超过立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付元的超额费； 每户每月的定额损耗费不超过5元. (1) 求每户每月水费（元）与月用水量（立方米）的函数关系； (2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：月份用水量（立方米）水费（元）一417二523三2.511 试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求的值.20. （本小题满分14分） 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合， 椭圆与抛物线在第一象限的交点为，.圆的圆心是抛物线上的动点, 圆与轴交于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）证明:无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点.21. （本小题满分14分） 已知数列和满足,且对任意N都有, . (1) 判断数列是否为等差数列, 并说明理由; (2) 证明: .2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分 题号12345678910答案BABBC CBDAC二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分， 满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题11 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12分）(本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正切等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: . 2分 . 4分(2)解法1:, 6分 . 8分 10分 . 12分解法2: , 6分 . 8分 10分 . 12分17（本小题满分12分）(本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：22列联表为(单位:人):数学成绩优秀数学成绩不优秀合 计物理成绩优秀 5 2 7物理成绩不优秀 1 12 13 合 计 6 14 20 4分（2）解：提出假设：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系. 根据列联表可以求得. 6分 当成立时，. 所以我们有的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. 8分（3）解：由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人， 则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人. 10分 故从20名学生中抽出1名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为. 12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证法1：设点为的中点，连接. 点是的中点, . 平面,平面, 平面. 2分 点是的中点, . 平面,平面, 平面. 4分 ,平面,平面, 平面平面. 平面,平面. 6分证法2: 连接并延长与的延长线交于点, 连接, 点是的中点, . , , RtRt. 2分 . 点是的中点, . 4分 平面,平面, 平面. 6分 (2) 解: 取的中点, 连接, 点是的中点, . , . 过三点的平面把长方体截成两部分几何体, 其中一部分几何体为直三棱柱, 另一部分几何体为直四棱柱. 8分 , 直三棱柱的体积, 10分 长方体的体积, 直四棱柱体积. 12分 . 所截成的两部分几何体的体积的比值为. 14分 (说明: 也给分)19（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意，得 其中. 2分（2）解：，.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量立方米. 4分将和分别代入，得 6分两式相减, 得.代入得. 8分又三月份用水量为2.5立方米，若，将代入，得，这与矛盾. 10分，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量.将代入，得，由 解得 13分答：该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，且. 14分20（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识, 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解法1：抛物线的焦点坐标为， 1分点的坐标为.椭圆的左焦点的坐标为，抛物线的准线方程为. 设点的坐标为，由抛物线的定义可知, , ，解得. 由，且,得. 点的坐标为. 3分 在椭圆:中，. . . 椭圆的方程为. 6分解法2：抛物线的焦点坐标为， 1分 点的坐标为. 抛物线的准线方程为. 设点的坐标为，由抛物线的定义可知, , ，解得. 由，且得. 点的坐标为. 3分 在椭圆:中，. 由解得. 椭圆的方程为. 6分（2）证法1: 设点的坐标为,圆的半径为， 圆与轴交于两点，且, . . 圆的方程为. 8分 点是抛物线上的动点, (). . 把代入 消去整理得:. 10分 方程对任意实数恒成立， 解得 12分 点在椭圆:上, 无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点. 14分证法2: 设点的坐标为,圆的半径为， 点是抛物线上的动点, (). 7分 圆与轴交于两点，且, . . 圆的方程为. 9分 令,则,得. 此时圆的方程为. 10分 由解得 圆:与椭圆的两个交点为、. 12分 分别把点、代入方程进行检验，可知点恒符合方程，点不恒符合方程.无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点. 14分21（本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解: 数列为等差数列. 1分理由如下: 对任意N都有, . ,即. 3分 数列是首项为,公差为1的等差数列. 4分 (2) 证明: , 且, . 由(1)知. , . 6分 所证不等式,即, 也即证明. 令, 则. 再令, 则. 8分当时, ,函数在上单调递减.当时,即.当时, . 函数在上单调递减. 10分,. 12分.成立. 14分
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