2019-2020年高三下学期开学数学试卷（文科） 含解析.doc

2019-2020年高三下学期开学数学试卷（文科） 含解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1i为虚数单位，复数=（）Ai2B2iCD2设则a，b，c的大小关系是（）AbacBabcCcabDacb3若x，y满足则下列不等式恒成立的是（）Ay1Bx2Cx+2y+20D2xy+104已知函数f（x）=sinx+cosx（0）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，25已知双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=2px（p0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）ABCD6如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形7下列四个命题已知命题P：xR，x2+x0，则P：xR，x2+x0；的零点所在的区间是（1，2）；若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为；设a，b是两条直线，是两个平面，则a，b，是ab的充分条件；其中真命题的个数为（）A0B1C2D38定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）2，当x（0，2时，f（x）=，若x（0，4时，t2f（x）3t恒成立，则实数t的取值范围是（）A2，+）BCD1，2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是10阅读如图的程序的框图，则输出S=11某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为12某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为元13已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P是C上一点若OPF是等腰三角形，则|PO|=14已知平行四边形ABCD中，A=45，AB=2，F为BC边上一点，且=2，若AF与BD交于点E，则=三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1+a7=9，S9=（）求数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn16已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2bc（）求角A的大小；（）若a=，求b+c的取值范围17如图，在三棱柱ABCA1B1C中，AA1底面ABC，ABAC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点（）求证：AB平面AA1 C1C；（）若线段AC上的点D满足平面DEF平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（）证明：EFA1C18如图所示为某地区xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况：记x=本月价格指数上月价格指数规定：x0时，称本月价格指数环比增长；x0时，称本月价格指数环比下降；当x=0时，称本月价格指数环比持平（）比较xx年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（）直接写出从xx年2月到xx年1月的12个月中价格指数环比下降的月份若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率；（）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大（结论不要求证明）19已知椭圆C： +=1（ab0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切（）求椭圆C的标准方程；（）直线l：y=k（x2）（k0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OPl求EPF面积的最大值及此时的k220已知函数f（x）=lnx（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=l时，求f（x）在区间，2上的最大值和最小值（0.69ln 20.70）；（3）求证lnxx学年北京八十中高三（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1i为虚数单位，复数=（）Ai2B2iCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数=，故选：C2设则a，b，c的大小关系是（）AbacBabcCcabDacb【考点】对数值大小的比较【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，比较它们与0和1的大小关系，从而得到答案【解答】解：0=log41a=log43log44=1，b=log043log041=0，0c=，acb故选：D3若x，y满足则下列不等式恒成立的是（）Ay1Bx2Cx+2y+20D2xy+10【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，然后逐一分析四个选项得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，平面区域内的点不满足不等式y1，x2，x+2y+20成立，只有选项D中的不等式2xy+10对平面区域内的点都成立故选：D4已知函数f（x）=sinx+cosx（0）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，2【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】求出f（x）的单调减区间A，令（，）A，解出的范围【解答】解：f（x）=sin（x+），令，解得x，kZ函数f（x）=sinx+cosx（0）在（，）上单调递减，解得+2k，kZ当k=0时，故选A5已知双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=2px（p0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（2，1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，则p=10，则抛物线的焦点为（5，0）；因为双曲线=1（a0，b0）与抛物线y2=2px（p0）有相同的焦点，所以c=5，因为点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=x，所以a=4，b=3所以e=故选B6如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形【考点】诱导公式的作用【分析】首先根据正弦、余弦在（0，）内的符号特征，确定A1B1C1是锐角三角形；然后假设A2B2C2是锐角三角形，则由cos=sin（）推导出矛盾；再假设A2B2C2是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出A2B2C2是钝角三角形的结论【解答】解：因为A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则A1B1C1是锐角三角形若A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，这与三角形内角和是相矛盾；若A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，）范围内无值所以A2B2C2是钝角三角形故选D7下列四个命题已知命题P：xR，x2+x0，则P：xR，x2+x0；的零点所在的区间是（1，2）；若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为；设a，b是两条直线，是两个平面，则a，b，是ab的充分条件；其中真命题的个数为（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用命题的否定定义即可判断出正误；分别画出y=x2与y=的图象，可知：函数的零点有两个，再利用函数零点存在定理即可判断出；利用基本不等式的性质即可判断出正误；利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理即可判断出正误【解答】解：由命题P：xR，x2+x0，则P：xR，x2+x0，因此不正确；，分别画出y=x2与y=的图象，可知：函数的零点有两个：一个零点在区间（0，1），另一个零点2，因此不正确；若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2=，当且仅当x=y时取等号，其最小值为，正确；a，b，利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理可得：ab，反之不成立，因此a，b，是ab的充分条件，正确其中真命题的个数为2故选：C8定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）2，当x（0，2时，f（x）=，若x（0，4时，t2f（x）3t恒成立，则实数t的取值范围是（）A2，+）BCD1，2【考点】分段函数的应用【分析】由f（x+2）=2f（x）2，求出x（2，3），以及x3，4的函数的解析式，分别求出（0，4内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2f（x）3t恒成立即为由t2f（x）min，f（x）max3t，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当x（2，3），则x2（0，1），则f（x）=2f（x2）2=2（x2）22（x2）2，即为f（x）=2x210x+10，当x3，4，则x21，2，则f（x）=2f（x2）2=2当x（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为；当x1，2时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为；当x3，4时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为1综上可得，f（x）在（0，4的最小值为若x（0，4时，t2f（x）恒成立，则有t2解得1t当x（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x（2，3）时，f（x），2），当x3，4时，f（x）1，0，即有在（0，4上f（x）的最大值为1由f（x）max3t，即为3t1，解得t2，即有实数t的取值范围是1，2故选D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是17【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可【解答】解：样本间距为484=12，则另外一个编号为5+12=17，故答案为：1710阅读如图的程序的框图，则输出S=50【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=11时，不满足条件i9，退出循环，输出S的值为50【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1S=2，i=3满足条件i9，S=8，i=5满足条件i9，S=18，i=7满足条件i9，S=32，i=9满足条件i9，S=50，i=11不满足条件i9，退出循环，输出S的值为50故答案为5011某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为【考点】由三视图求面积、体积【分析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥PABCD，其中，PC底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PC=2，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥PABCD，其中，PC底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PC=2，该四棱锥中最长棱的棱为AP，AC=2，AP=2故答案为：212某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为304200元【考点】函数模型的选择与应用【分析】设每辆车的月租金定为X元，则租赁公司的月收益：Y=（X200）100（X3000），由此能求出结果【解答】解：设每辆车的月租金定为X元，则租赁公司的月收益：Y=（X200）100（X3000）=（X200）*=（X28200X+1600000）=（X28200X+16810000）+15210000=（X4100）2+304200当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是304200元故答案为：30420013已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P是C上一点若OPF是等腰三角形，则|PO|=或1【考点】抛物线的简单性质【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后根据OPF是等腰三角形，则OP=OF或OP=PF，然后分别进行求解即可【解答】解：抛物线C：y2=4x，抛物线的焦点坐标为（1，0），OPF是等腰三角形，OP=OF或OP=PF或OF=PF（舍去因抛物线上点不可能满足），当OP=OF时，|PO|=|OF|=1，当OP=PF时，点P在OF的垂直平分线上，则点P的横坐标为，点P在抛物线上，则纵坐标为，|PO|=，综上所述：|PO|=或1故答案为：或114已知平行四边形ABCD中，A=45，AB=2，F为BC边上一点，且=2，若AF与BD交于点E，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据题意，建立直角坐标系，根据相似比可得各点的坐标，再计算即可【解答】解：根据题意，以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系如图，显然EBFEDO，由题意可知O（0，0），B（2，0），C（3，1），D（1，1），=2，及相似比的性质F（，），E（，），从而=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1+a7=9，S9=（）求数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【分析】（I）设数列an的公差为d，由于a1+a7=9，S9=，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（）利用等差数列的前n项和公式可得Sn=，于是bn=，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明【解答】（）解：设数列an的公差为d，a1+a7=9，S9=，解得，=（）证明：Sn=，bn=，数列bn的前n项和为Tn=+=Tn16已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2bc（）求角A的大小；（）若a=，求b+c的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）利用余弦定理和已知等式求得cosA的值，进而求得A（）利用两边之和大于第三边，求得b+c的一个范围，进而利用a2=3=b2+c2bc=（b+c）23bc利用基本不等式求得b+c的最大值，综合可得答案【解答】解：（I）由已知得：bc=b2+c2a2，故cosA=A=（II）解：一方面b+ca=，另一方面：a2=3=b2+c2bc=（b+c）23bc（b+c）2（b+c）2=（b+c）2，（b+c）212，b+c2，当且仅当b=c=时取到等号综上：b+c217如图，在三棱柱ABCA1B1C中，AA1底面ABC，ABAC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点（）求证：AB平面AA1 C1C；（）若线段AC上的点D满足平面DEF平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（）证明：EFA1C【考点】直线与平面垂直的判定【分析】（I）由线面垂直得A1AAB，再由ABAC，能证明AB面A1CC1（II）由ABDE，在ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点（III）由已知条件推导出A1CAC1，ABA1C，从而得到A1C面ABC1，由此能证明EFAC1【解答】（I）证明：AA1底面ABC，A1AAB，ABAC，A1AAC=A，AB面A1CC1（II）解：面DEF面ABC1，面ABC面DEF=DE，面ABC面ABC1=AB，ABDE，在ABC中，E是棱BC的中点，D是线段AC的中点（III）证明：三棱柱ABCA1B1C1中，A1A=AC，侧面A1ACC1是菱形，A1CAC1，由（）得ABA1C，ABAC1=A，A1C面ABC1，A1CBC1又E，F分别为棱BC，CC1的中点，EFBC1，EFAC118如图所示为某地区xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况：记x=本月价格指数上月价格指数规定：x0时，称本月价格指数环比增长；x0时，称本月价格指数环比下降；当x=0时，称本月价格指数环比持平（）比较xx年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（）直接写出从xx年2月到xx年1月的12个月中价格指数环比下降的月份若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率；（）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大（结论不要求证明）【考点】频率分布直方图【分析】由xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值（II）由xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数环比下降的月份；通过列举得出任取连续两个月和所选两个月的价格指数都环比下降的取法，利用古典概型的概率公式求出（III）由xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数方差最大的月份【解答】解：（）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值（）从xx年2月到xx年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况P（A）=（）从xx年11月开始，xx年11月，12月，xx年1月这连续3个月的价格指数方差最大19已知椭圆C： +=1（ab0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切（）求椭圆C的标准方程；（）直线l：y=k（x2）（k0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OPl求EPF面积的最大值及此时的k2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）设出直线AB的方程为：，利用圆O与直线AB相切，列出关系式，设椭圆的半焦距为c，通过b2+c2=a2，利用离心率，求出a，b，得到椭圆C的标准方程（）了直线与椭圆方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离，求出=分离常数，利用二次函数的最值，求解EPF的面积的最大值，以及k的中【解答】解：（）由题意，直线AB的方程为：，即为bx+ayab=0因为圆O与直线AB相切，所以，设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，所以由得：a2=2，b2=1所以椭圆C的标准方程为：（）由可得：（1+2k2）x28k2x+8k22=0设E（x1，y1），F（x2，y2）则，所以又点O到直线EF的距离，OPl，=又因为，又k0，令t=1+2k2（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，EPF的面积的最大值为20已知函数f（x）=lnx（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=l时，求f（x）在区间，2上的最大值和最小值（0.69ln 20.70）；（3）求证ln【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出f（x）的定义域和导数，并化简，讨论a0，a0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）求得f（x）在，2上的单调区间，可得最大值，再求端点处的函数值，可得最小值；（3）由（2）的最大值，可得f（x）=1lnx0，运用不等式的性质，结合对数的运算性质，即可得证【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），f（x）=lnx，f（x）=，若a0，又x0，x0，则f（x）0，函数f（x）在区间（0，+）上单调递减；若a0，当x（0，）时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，）上单调递增；当x（，+）时，f（x）0，函数f（x）在区间（，+）上单调递减综上，若a0，函数f（x）的单调递减区间为（0，+）；若a0，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+）（2）a=1时，f（x）=lnx=1lnx，由（1）可知，f（x）=1lnx在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，故在区间，1上单调递增，在区间1，2上单调递减，函数f（x）在区间，2上的最大值为f（1）=1ln1=0；而f（）=12ln=1+ln2，f（2）=1ln2=ln2，f（2）f（）=ln2（1+ln2）=2ln21.520.7=0.10，所以f（2）f（），故函数f（x）在区间，2上的最小值为f（）=1+ln2证明：（3）由（2）可知，函数f（x）=1lnx在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，故函数f（x）在区间（0，+）上的最大值为f（1）=0，即f（x）0故有1lnx0恒成立，所以1lnx，故2lnx1+，即为lne2lnx，即lnxx年10月29日