2019-2020年高中数学 数列中档题复习（学生版）.doc

2019-2020年高中数学 数列中档题复习（学生版）一、考点分析：本章的知识结构图：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.复习建议:在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用； 4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 6掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8掌握一些数列求和的方法(1)分组求和(2)裂项相消(3)错位相减（4）倒序相加（5）公式法。9以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用一、 等差与等比数列的概念和性质1. 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；解：（1）（2）， 2.设数列an和bn满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an （nN*）是等差数列，数列bn2(nN*)是等比数列.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）是否存在kN*，使akbk（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.解：（1），（2）不存在3. （xx年海南宁夏卷）已知数列是一个等差数列，且，。（）求的通项；（）求前n项和的最大值。提示：（）（）所以时，取到最大值4. （北京10年16）已知an(nN*)为等差数列，且，（）求an的通项公式；（）若等比数列bn(nN*)满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求bn的前n项和公式.解：（）an=2n12.() q=3.5. （全国课标10年文17）设等差数列an满足a3=5，a10=9.（）求an的通项公式； （）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的n的值.解：an=2n+11.() Sn=n2+10n=(n5)2+25.所以当n=5时Sn最大为25.6. (全国课标10年理17)设数列an满足a1=2，an+1an=322n1 （)求数列an的通项公式： （）令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn.解：（）an=22n1（）7. (xx全国2文18) 已知an是各项均为正数的等比数列，且，() 求an的通项公式；()设，求数列bn的前n项和Tn.解：an=2n-1.()， 8. （xx陕西文数）16.已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn.解 （）an1+（n1）1n.()Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.9. （xx重庆文数）（16）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（）求通项及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.10. （xx浙江文数）（19）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足+15=0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范围。()解：a1=7，所以S6= -3,a1=7()解：d的取值范围为d-2或d2.11. （xx山东文数18）已知等差数列满足：，.的前n项和为.（）求 及；（）令（）,求数列的前n项和.解：（）；=（）由（）知，所以bn=，=12.（xx北京文数）（16）已知为等差数列，且，。（）求的通项公式；（）若等差数列满足，求的前n项和公式解：（）， （）13. （xx四川文数）（20）已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和解：(1)an4n，(2) 所以，Sn15.（xx山东理数）（18）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】（）；=。（）=。二、求数列的通项：1、设数列的前项和（1, 2, 3, ），数列满足：， (1, 2, 3 , )， 求数列的通项.解：bn 的通项.2、已知数列的前项和满足.（）写出数列的前三项；（）求数列的通项公式.（）由由由（）3、设是正数组成的数列，其前项和为，且对于所有的正整数,有(I) 求，的值； (II) 求数列的通项公式； （III）令，（），求数列的前 项和解：(I) ，； (II) ；（） =. 4、已知正数数列中前n项和= （），求通项公式.5、 (xx年广东卷文)（本小题满分14分）已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少?【解析】（1） ，（2）； 由得，满足的最小正整数为112.7、（xx广东卷理）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；解：（1）8、（xx全国卷理）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。解：（I）， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）， 9、（xx陕西卷文）已知数列满足， .令，证明：是等比数列； ()求的通项公式。（1）证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。10. （xx四川卷理）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。求数列的通项公式。解：， 11. （xx全国卷理）在数列中，设，求数列的通项公式。解：由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()三、数列求和（1）公式法：（2）分组求和法：（08天津文20）在数列中，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；答案：（3）倒序相加法：求证：；（4）错位相减法： (xx山东卷文)等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和解：, ，（2）（5）裂项相消法：（1）求和： （答：）；（2）在数列中，且S，则n_（答：99）；（6）通项转换法：求和： （答：）1、（xx江西卷文）（本小题满分12分）数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) ()(2) 2、数列an满足: a1=1, a2=, an+2=an+1-an (nN*).() 记dn=an+1-an , 求证dn是等比数列; () 求数列an的通项公式;() 记bn=3n2, 求数列anbn的前n项和Sn .答案：()an =2- () anbn=(3n-2)(2-)=2(3n-2)-， Sn=3n2-n-8+ 3、（xx年北京市海淀区高三期中试题）设数列的前项和为，满足(，t为常数) ，且.（）当时，求和；（）若是等比数列，求t的值；（）求. 答案：（），（）或. （）4、（xx年上海春季高考试题）设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求的值。思路提示：，设则5、(xx年广东卷文)已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少? 解：（1） ， ()；（2） ； 由得，满足的最小正整数为112.6.已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为（）求证：点的纵坐标是定值；（）若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；答案：（）点的纵坐标是定值，问题得证（）由于， 四、数列与函数的综合应用数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.用函数的观点来认识数列，用函数的思维理解数列问题，用研究函数的方法来解决数列问题，是我们复习数列知识首先要达到的目标.1、已知数列，求前30项中最大的项和最小的项. 2、已知，试问：数列有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，说明理由.思路分析：，当时，即当时，数列单调递增，当时，数列单调递减.数列有最大项为3、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为 （1）求数列的通项公式 （2）若，求数列的前项和（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式.解：（1） （2）. （3）.又，,解得27.所以， 五、数列中的恒成立问题与存在性问题1、（xx四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；【解析】（I）， （II）不存在正整数，使得成立。2、已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出 若不存在,则说明理由 思路分析：（I）（II）（III）存在，使数列是等差数列 数列是等差数列的充要条件是又当且仅当，即时，数列为等差数列 3、(xx海淀二模)数列满足，（）.() 当时，求实数及；（）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；（）求数列的通项公式.解：() ， .（）不存在实数，（）， 当时，；当时，；当且时，. 6、已知数列中，且，其前项和为，且当时，（）求证：数列是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若，令，记数列的前项和为设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，请说明理由解：（）当时，得， （） （）当时，存在正整数，使等式成立7、 已知数列的前项和为，设 （）证明数列是等比数列；（）数列满足，设， 若对一切不等式恒成立，求实数的取值范围证明：（）当时，恒成立 8.（11昌平期末文）(本小题满分14分)已知数列的前项和为，点在直线上数列满足，且，前11项和为154.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；（3）设 是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1），（2）= =因此单调递增，故令，得，所以 六、数列的其它应用1、(xx湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明。解析：（I）.(II) ，于是确定的大小关系等价于比较的大小由可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时2、已知为锐角，且，函数，数列an的首项.（） 求函数的表达式；（） 求证：；（） 求证： 解：（） （） 3、已知数列满足：，（）求的值，（）设，试求数列的通项公式；（）对于任意的正整数n，试讨论与的大小关系.解：（） ；. （）.14分4、已知数列满足，点在直线上. （I）求数列的通项公式； （II）若数列满足 求的值； （III）对于（II）中的数列，求证：解：（1） （2） 且； 当n=1时， 七、填空题中的第14题:1.（xx江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 解： 2在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）解答过程：显然，3将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 解：应填，324.（xx陕西文数）11.观察下列等式：1323（12）2，132333（123）2，13233343（1234）2，根据上述规律，第四个等式为1323334353（12345）2（或152）.解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方所以第四个等式为1323334353（12345）2（或152）.5. （xx湖南理数）15若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 6. （xx北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时， 表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第xx棵树种植点的坐标应为 提示:为(1,2) (3, 402)7.（xx湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是( )A.289 B.1024 C.1225 D.1378， 知必为奇数，故答案选C.8(xx湖南)将正ABC分割成（2，nN）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ， f(n)= . 提示：