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理解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义/理解四种命题及其相互关系/掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义,第3课时 简易逻辑,1命题的概念：可以判断 的语句叫做命题正确的命题叫做真命题；错误的 命题叫做 2简单命题和复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做 不含有逻辑联结词的命题是 ； 由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、 “非”构成的命题是 复合命题的构成形式是p或q，记作“pq”； p且q，记作“pq”； ，记作“綈q”,假命题,逻辑联结词,简单命题,复合命题,非q,真假,3判断复合命题真假的方法 4(1)命题的四种形式,真,假,假,假,（2）原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为 ；命题与其逆否命题 .,逆否命题,等价,(1)条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的 ； (2)结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的 ； (3)条件p成立结论q成立，且结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的 思考：数学中的定义是否都是充要条件？ 数学中的定理是否都是充要条件？,充分条件,必要条件,充要条件,5充分条件 必要条件 充要条件,6. 反证法 假定要证结论不成立，由此推出矛盾，则说明假设不成立，而得出要证结论成立,1已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件， q是s的必要条件现有下列命题： s是q的充要条件； p是q的充分条件，而不是必要条件； r是q的必要条件， 而不是充分条件； 綈p是綈s的必要条件， 而不是充分条件； r是s的充分条件，而不是必要条件 则正确命题的序号是( ) A B C D,解析：由已知条件可知： 因此为正确命题 答案：B,A“xP”是“xQ”的充分条件但不是必要条件 B“xP”是“xQ”的必要条件但不是充分条件 C“xP”是“xQ”的充分必要条件 D“xP”既不是“xQ”的充分条件也不是“xQ”的必要条件 答案：A,2若集合P1,2,3,4，Q x|0x5, xR，则( ),A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B,3(2009重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( ),A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：本题考查充分必要条件；由于ysin(x)的最小正周期为T ，故其最小正周期若为，则2，故2是其最小周期为的充分但不必要条件 答案：A,4“2”是“函数ysin(x)的最小正周期为”的( ),5一个整数的平方是偶数，则这个整数是偶数； 是无理数； 经过平面内一点和平面外一点的直线一定不在平面内； 若向量a、b是平面向量的一组基底，则ab与ab也是平面 向量的一组基底其中正确命题的代号是_ 解析：可用反证法证明，都为正确命题 答案：,1. 对于命题正误的判断，可判断其等价命题的真假，比如原命题的逆否命题等 2复合命题真假的判断通常借助真值表来完成,【例1】 已知c0，设p：函数ycx在R上递减；q：不等式x|x2c|1的解集为 R，如果“p或q”为真，且“p且q”为假，求c的范围 解答：由p01c ，“p或q”为真，且“p且q”为假，p真q假或p假q真， 若p真q假，则c的范围是(0,1)(， (0， ； 若p假q真，则c的范围是(，01，)( ，)1，)， 因此c的范围是(0， 1，).,1.“AB”等价于“A是B的充分条件”；“BA”等价于“A是B的必要条 件”；“AB”等价于“A是B的充要条件”，这也是数形结合思想方法的 具体体现 2对充要条件的证明首先要弄清“充分性”和“必要性”,证明：先证必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2) (a2abb2)0，即(ab1)(a2abb2)0，又ab0， a2abb2(a b)2 0，因此ab10，即ab1. 再证充分性：ab1，即ab10， (ab1)(a2abb2)0.即a3b3aba2b20.,【例2】 若ab0，试证a3b3aba2b20成立的充要条件是ab1.,变式2. 已知a、b是实数，求证：a4b42b21成立的充分条件是a2b21.该条件是否为必要条件？试证明你的结论 证明：a2b21，a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2a2b21. 即a4b42b21成立的充分条件是a2b21. 另一方面又a4b42b21，即为a4(b42b21)0.a4(b21)20，(a2b21)(a2b21)0，又a2b210，a2b210，即a2b21. 因此a2b21既是a4b42b21的充分条件，也是a4b42b21的必要条件.,“正难则反”是常见的数学思想方法，比如证明一个数是无理数、一个函数不是周期函数等问题时，可考虑使用反证法，反证法在立体几何定理的推导过程中也有着较为广泛的应用,证明：设(x0，y0)为函数yf(x)与其反函数图象的交点，假设y0x0，则x0y0，若x0y0同理可推出矛盾因此y0x0，即点(x0，y0)在直线yx上,【例3】(原创题)已知函数yf(x)在(，)上递增，试用反证法证明：函数yf(x)与反函数yf1(x)图象的交点一定在直线yx上,(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？ 解答：(1)证明：证法一：(反证法)若Sn是等比数列，则S S1S3， 即 (1q)2a1a1(1qq2) a10，(1q)21qq2，即q0 与q0矛盾，故Sn不是等比数列,变式3.设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和,证法二：只需证明SnSn2S ，Sn1a1qSn，Sn2a1qSn1， SnSn2S Sn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10. 故Sn不是等比数列 (2)当q1时，Sn是等差数列 当q1时，Sn不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列， 即2S2S1S3.2a1(1q)a1a1(1qq2) a10，2(1q)2qq2，qq2， q1，q0与q0矛盾,1对命题正误的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反 例，这是最基本的数学思维方式在判断命题正误的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系；要注意命题四种形式之间的真假关系 2在充分条件、必要条件和充要条件的判断过程中，可利用图示这种数形结合的思想方法；在证明充要条件时，首先要弄清充分性和必要性 3特殊情况下如果命题以p：xA，q：xB的形式出现，则有：(1)若AB，则p是q的充分条件；(2)若BA，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件,【方法规律】,4反证法是一种重要的间接证法，一般在命题结论涉及“无限”的形式、“否定”的 形式或“至多”、“至少”的形式时，可考虑采用反证法反证法在很大程度上就 是证明原命题的逆否命题，反证法的基本步骤是：(1)否定命题的结论(即命题的 否定，要注意命题的否定和否命题的区别)；(2)通过逻辑推理导出矛盾(可以与已 知矛盾、可以与公理和定义矛盾等等)，从而说明原命题是正确的.,(2009辽宁)(本题满分12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 (1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线.,解答：(1)取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG .因为平面ABCD平面DCEF，所以 MG平面DCEF.可得MGNG. 所以MN . 6分 (2)证明：假设直线ME与BN共面， 8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN. 由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB平面DCEF. 又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN，又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立 所以ME与BN不共面，它们是异面直线 12分,【答题模板】,1. 本题主要考查了立体几何中点、线、面的位置关系及其长度问题，同时考查反 证法在立体几何中的应用等解有关立体几何问题的通法是：结合立体几何图 形，通过必要的辅助线，把立体几何问题通过点、线、面的位置关系转化为平 面几何问题来处理与解决利用反证法来证明立体几何中的相关问题时，要充 分利用点、线、面的位置关系的相关定理与性质 2本题第(1)问事实上就是求长方体对角线的长度； 本题第(2)问实际上是“过平面外一点和过平面内一点的直线与平面内不 过该点的直线是异面直线”结论证明的改编题,【分析点评】,3(1)求平行六面体的对角线长可利用空间向量进行运算 (2)异面直线的判定，直线与平面平行和平面与平面平行的判定定理的证 明都可采用反证法.,点击此处进入 作业手册,
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