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2019-2020 年高三数学理科质量监测模拟试卷及答案 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案） 已知全集，集合，则等于（ C ） A.， B. ， C.， ， D.， 等比数列中， ，又，则公比 A B C2 D 在复平面内，复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复 数是 （ ） A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 已知 a、b 是实数，则“a1，b2”是“a+b3 且 ab2”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条 5 中，角所对的边，若， ， ，则 A B C D 6已知函数满足：当 x1 时，=；当 x1 时，=，则= A B C D 7某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表： 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏 8 15 23 总数 26 24 50 根据表中数据得到 ，参考下表： 250195027346k(). P(K2k) 0.050 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ） A97.5% B95% C90% D99.9% 8 起点到终点的最短距离为（ ） A16 B17 C 18 D19 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能 选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上. 9.（理科）某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的 样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生_人. 10 （理科）已知单位向量， ，其夹角为，则=_ 11 （理科）已知随机变量， ， . 12下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_； 13甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠 4 小 时、8 小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到 达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 为 14 （坐标系与参数方程选做题） 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且， 则 15 （坐标系与参数方程选做题）曲线 对称的曲线的极坐标方程为 4cos4关 于 直 线 。 0v1v2v5v6v3v4v起 点 8终 点42657 O 19图图 181716151413 图 图图图图 0.060.08 0.16 0.32 0.38 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边都在第一 象限内，并且分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A 点的纵坐标为，B 点的纵坐标为 （1） 求的值；（2） 求的值 17 （本小题满分 12 分）某学校 900 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽 取其中 50 个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，下图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图 （1）若成绩小于 14 秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级 900 名学生中，成绩属于第三组的人数； （3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生， 现从第一、五组中各抽 2 个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和期 望 18.（本小题满分 14 分）如图，长方体中， ， （1）若分别是、中点，求证 EF/平面； （2）求二面角的正弦值 19.（本小题满分 14 分）已知圆 C 方程：（x1） 2 + y 2=9，垂直于 x 轴的直线 L 与圆 C 相切 于 N 点（N 在圆心 C 的右侧） ，平面上有一动点 P，若 PQL，垂足为 Q，且； （1）求点 P 的轨迹方程； （2）已知 D 为点 P 的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O 为原点，A、B 分别为点 P 的轨迹曲 线与轴的正半轴的交点，求四边形 OADB 的最大面积及 D 点坐标. 20.（本小题满分 14 分）已知函数. （）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （）在（）的条件下，试求函数 （为实常数， ）的极大值 2713gxmfx 与极小值之差； （）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：. 21.已知函数， ，数列满足：， ，*12()()nngxfN (1) 当时，求的值并写出数列的通项公式（不要求证明） ； (2) 求证：当时， ； (3) 求证： 。*1231()2nxxxN 数学理参考答案 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案） C A C A 5 C 6C 7A 8B 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能 选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上. 9. 3700 10 11 12 13 14 15 O 19图图 181716151413 图 图图图图 0.060.08 0.16 0.32 0.38 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16.解: 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。 （1）由条件得 ， 2 分 为锐角，故 且 ，同理可得 4 分 因此， 。 6 分 （2） ， 7 分 1tant37tan12 8 分 1tant()32ta2tan()1 ，在上单调递增， 且 ，10 分 同理， 11 分 从而 12 分 17. 解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为 0.06， 人数为：500.06=3 所以该样本中成绩优秀的人数为 3。 3 分 （2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率 0.38，以此估计本年级 900 名学生成绩属 于第三组的概率为 0.38， 人数为：9000.38=342 所以估计本年级 900 名学生中，成绩属于第三组的人数为 342。 7 分 （3）的可能取值为 1，2，3； 8 分3 1)(2403Cp 9 分21)2( 431231240123 C 10 分6)(24 132301Cp 的分布列为 P 1 2 3 1/3 1/2 1/6 11 分 651)(3)()( pppE 12 分 18. ()证明：连接，则长方体中， ， ， 、分别是和的中点 分 4 分 ()解：(理) 连接设交于，连接 正方形中，又平面 平面5 分 过作于，作于，连接、 平面 6 分 平面 8 分 就是二面角10 分 ， ， ，1分 二面角的正弦值是 14 分 19. 解：（1）设点坐标为，1 分 则，2 分 3 分 因为，所以， 4 分 化简得5 分 所以点的轨迹方程是6 分 （2）依题意得，点坐标为，点坐标为7 分 设点坐标为 ，8 分(2cos,3in),(0)2 则四边形的面积,9 分 10 分113sin32cos 11 分 又因为，所以12 分 所以，即 所以四边形的最大面积为，13 分 当四边形的面积取最大时， ，即， 此时点坐标为14 分 20. 解：（） ，1 分 直线的斜率为 2，曲线在点处的切线的斜率为, 2 分 曲线经过点， 3 分 由得： 2,37.ab 4 分 （）由（）知：， ， , 由，或.5 分 2413gxmx 当，即或时， ， ，变化如下表 + 0 - 0 + 极大值 极小值 由表可知： 7 分 403gxg大 2231188m 当即时， ， ，变化如下表 - 0 + 0 - 极小值 极大值 由表可知： 8 分 403gxg大 223310188m 综上可知：当或时， ； 当时，9 分 （）因为在区间内存在两个极值点 ，所以， 即在内有两个不等的实根 2(1)0,(1)42,3().(4)fab 11 分 由 （1）+（3）得：， 12 分 由（4）得：，由（3）得：， ， 13 分 故 14 分 21. (1)解：， 2 分 (2)证明：设 ，则，()sinFxfx 在上为减函数，即，即，4 分 设 ，则，()iHf 在上为增函数，即，即，5 分 当时， 。 6 分 (3)由(1)知：当时， ， 同理可证：当时， ，即对，恒有：。7 分 由 得：，*12()()nngxfN （） 8 分111cosi()2nnnnxxA ， ， ，122nnxA 从而， 10 分 11 分1231112!23!2nxxxn A 211n A 13 分1()32nn 成立。 14 分*1231()nxxxN
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