解析几何：二次曲线的一般理论.ppt

解析几何,第五章 二次曲线的一般理论,在平面上，由二元二次方程,所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。,二次曲线的一般理论,为了方便起见，特引进一些记号：,二次曲线与直线的相关位置,讨论二次曲线,与直线,的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程,（1）,（2）,（3）,（4）,对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：,二次曲线的渐近方向,定义满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.,定义 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.,1)椭圆型：I20 2)抛物型： I20 3)双曲型： I20,二次曲线的中心与渐近线,定义 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心.,定理 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.,二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：,如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标,如果I20，分两种情况：,定义1 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线.,定义2 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.,定理 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.,二次曲线的切线,定义1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.,定义2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=0 F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.,定理1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.,推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：,例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程,解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/20, F 2 (2,1)=-2 0 所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在 点(2,1)的切线方程为： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0,二次曲线的直径,定理1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.,定义 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.,推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0,定理 2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线,共轭方向与共轭直径,中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.,定义 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.,定义1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向 显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点,二次曲线的主直径与主方向,主方向与主直径的求法,二次曲线方程的化简与分类,1.平面直角坐标变换,为转轴公式，其中为坐标轴的旋转角.,二次曲线方程的化简和分类,定理1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：,定理2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：,本章学习结束,谢谢大家,