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4. 分段线性插值公式,4.1 高次插值的Runge现象,Lagrange插值的截断误差表明：插值多项式与被插函数的逼近程度，同插值节点的数目和位置有关。一般地，节点越多，逼近程度越好，但也有例外！,例如：考察函数,-0.36,0.36,从图可以看出：仅在区间的中部能较好的逼近函数f(x), 在其它部位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差（虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。即 ：高次插值的整体逼近效果往往不理想！）。可以证明，当节点无限加密时，Ln(x)也只能在很小的范围内收敛，在插值区间的边界附近发生剧烈的震荡，这一现象称为Runge现象。它表明通过增加节点来提高逼近程度是不适宜的，因而不采用高次多项式插值。,Runge现象 随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应地增加，而插值多项式在插值区间的边界上发生剧烈的震荡。它揭示了高次插值多项式存在的缺陷。 产生的原因 误差有截断误差和舍入误差两部分组成，而在插值的计算过程中，舍入误差可能会扩散或放大（数值不稳定！），从而引起计算失真！。,问题：为了既要不增加插值多项式的次数以减少舍入误差（避免高次插值），又要缩小插值区间以减少截断误差（提高插值精度），可采用分段插值的方法。,分段低次插值问题：就是将插值区间分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用低次插值，最后将每个小区间上的插值多项式连接在一起，得到整个区间上的插值函数。,1),2),3),分段低次插值问题的数学描述：,称函数 为具有分划 的分段 次式，点 称作 的节点。,4.2 分段线性插值（就是通过插值点用折线段连接起来逼近被插函数）,分段线性插值问题：,易知， 为是一条折线函数，在每个小区间 上可表示为：,于是， 是在 上是连续函数。,用“基函数法”构造分段线性插值函数，则在整个区间 上 为,从“整体上”构造分段线性插值函数的基函数。每个插值节点上所对应的插值基函数满足：,基于以上两方面，我们观察,分段线性插值函数的构造,右,左,1）在插值节点 上，插值基为：,2）在插值节点 上，插值基为：,3）在插值节点 上，插值基为：,用分段线性插值逼近上述例子的效果，取 n =10。,S1(x)的图形是一条以 (xi, f(xi)为折点的折线。,提示：参考高等数学，求最大值,分段线性插值函数的误差估计,定理：,说明：可以加密插值节点, 缩小插值区间, 使h减小, 从而减小插值误差。,4.3 分段三次Hermite插值多项式,用“基函数法”构造分段三次Hermite插值函数，则在整个区间 上 为,类似地，只需在整个区间 上定义一组分段插值基函数 ， ， 。观察下图:,左,右,左,右,左，右连接起来！,于是,1）在插值节点 上，插值基为：,2）在插值节点 上，插值基为：,3）在插值节点 上，插值基为：,插值基函数 的图像：,1）在插值节点 上，插值基为：,2）在插值节点 上，插值基为：,3）在插值节点 上，插值基为：,插值基函数 的图像：,分段三次Hermite插值函数的误差估计,定理：,提示：类似于前面的误差估计。,几点说明： 1）只要节点间距充分小，插值法总能获得所要求的精度。 2）局部性。如果修改某个数据，则插值曲线仅在某个局部范围内受影响。,
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