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2.2 离散型随机变量,一、离散型随机变量 二、常见的离散型随机变量,一、离散型随机变量的分布律 1、离散型随机变量定义,定义2.1 若随机变量X的可能取值仅有有限或可列多个, 则称此随机变量为离散型随机变量。 即：X的可能取值为xk, 则离散型随机变量可记为 X=xk k=1,2,3,2、离散型随机变量的分布律,注：概率分布有三种表示方式,(3)图形表示法,由随机变量X的概率分布可以得到其分布函数，以X有n个可能取值为例：,(2) 离散型随机变量X的分布函数F(x)的图形为一阶梯形曲线；,注,(1)离散型随机变量X的分布函数F(x)在X=xk处有跳跃，其跳跃值为pk=PX=xk，k=1,2,；,练习 设X为一离散型随机变量，其分布律如下：,3、离散型随机变量的分布律的求法,(1)利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件X=xk的概率pk=PX=xk, k=1, 2,求法步骤为： 第一步：先确定X的全部可能取值xk，k=1, 2,; 第二步：具体求出事件X=xk的概率，即pk。,例2.1 设有甲、乙两势均力敌的排球队，在每一局比赛中各队取胜的概率都是1/2，求两个队在一场排球比赛中所打局数的概率分布及分布函数。,解: 设一场排球比赛中所打局数为随机变量X, 则按现行规则, X的取值只可能是3, 4或5. 而第k局比赛甲, 乙队取胜的事件分别记为Ak, Bk,则 P(Ak)=P(Bk)=1/2, k=1,2,3,4,5 且每个Ak与Bk间是相互独立的。,PX=51PX=3PX=43/8,X的分布函数为：,即所求概率分布如下表：,(2)利用分布函数F(x)求概率分布,求法步骤为： 第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值； 第二步：由pk=PX=xk=F(xk)F(xk0)求出事件X=xk的概率。,例2.2 设随机变量X的分布函数为 试求X的概率分布。,解: (1) F(x)的间断点为1,1,3, 即为X的可能取值,(2) p1=P(X= 1)=F(1)F(10)=0.40=0.4,p2=P(X=1)=F(1)F(10)=0.80.4=0.4,p3=P(X=3)=F(3)F(30)=10.8=0.2,(3) 利用分布律的基本性质求分布律,例2.3 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。,解: 设抽取产品的检验等级数为X, 则X =1,2,3, 依题意知,二、常见的离散型随机变量,其分布函数为：,1、（01）分布（两点分布）,例： (1)对新生婴儿进行性别登记，记女婴出现的事件为A (2)检查一件产品是否合格，记合格品的事件为A (3)检查某车间电力消耗量是否超负荷，记超过负荷事件为A (4)抛掷硬币一次，记正面出现的事件为A。,例2.4 设100件产品，其中有95件合格品，5件次品。现从中任取一件，设随机变量 试求X的概率分布及分布函数。,2、等可能分布(离散型均匀分布),如果随机变量X可以取n个不同的值x1, x2, xn, 且取每个xk值的概率相等, 即 PX=xk=1/n k=1,2,n 则称X服从等可能分布或离散型均匀分布, 其分布参数为n, 可记为XU(n)。,其分布函数为,注: 等可能概型中, 试验E的可能结果只可能是有限个,3、二项分布,若随机变量X取值为0,1,2,n的概率为 则称X服从参数为n,p的二项分布，记为XB(n,p)。,其分布函数为,应用模型： n重贝努利概型中事件A发生的次数X即服从B(n,p)。,例如： (1)n次投掷一枚硬币，其中正面出现次数X的分布； (2)检查n只产品(次品率一定)，其中次品个数X的分布； (3)n台同型号机床，在一小时内，每台机床出故障的概率相同，则n台机床在同一小时内出故障的台数的分布； (4)n个新生婴儿中男婴的个数的分布； (5)某射手向同一目标射击n次，n次射击中击中靶心的次数的分布。,注3 当二项分布B(n,p)中的参数n=1时, 化为两点分布B(1,p), 即两点分布是二项分布的特例,注1,注2 二项分布B(n,p)的分布律PX=k在,例2.5 设某种疾病在鸭子中传染的概率为0.25。 (1)求在正常情况下(未注射防疫血清时)，50只鸭子和39只鸭子中，受到感染的最大可能只数； (2)设对17只鸭子注射甲种血清后，仍有一只受到感染；对23只鸭子注射乙种血清后，仍有两只受到感染。 试问这两种血清是否有效？,注4 一般地, 当n不大于10时, F(x)的值可由二项分布表查出, 若n较大时, 通常采用泊松分布函数或正态分布函数作近似计算。,解: 设n只鸭子中受感染的只数为X, 则XB(n,0.25),由于假定血清无效, 而得出相应事件出现的概率很小, 所以, 可以初步判断两种血清都是有效的。且由于F23(2)F17(1), 我们还可以认为乙种血清的效果稍好一些。,4、泊松分布,如果随机变量X的可能取值为0,1,2, 取各值的概率为 其中0为常数, 则称X服从参数为的泊松分布, 记作X (); 其分布函数为,注1 泊松分布中的参数表征平均特性, 如X表示单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数, 即表示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。,应用模型： 作为描述大量独立试验中稀有事件A出现次数的分布模型。,例如： (1)电话交换台在一段时间内接到的呼唤次数; (2)一大批产品中的废品数; (3)某路段, 某时段内交通事故出现的次数; (4)某商店一天内销售的某种特殊商品数; (5)一本书中某一页上印刷错误个数。,注2 泊松分布常用于近似计算二项分布的概率。 当贝努利试验的次数n很大，而在一次试验中某事件发生的概率p很小，且=np适中时，可用泊松分布作二项分布概率的近似计算，即 从下表可看出近似程度。（见下页）,注3 泊松分布 ()的分布律PX=k在,例2.6 某电话交换台在一般情况下, 一小时内平均接到电话60次, 已知电话呼唤次数X服从泊松分布, 试求在一般情况下, 30秒内接到电话次数不超过一次的概率。,例2.7 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是由3人共同维护80台, 试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,解: (1)按第一种方法, 设X为“第一人维护的20台同时发生故障的台数”, Ai (i=1,2,3,4)为“第i人维护的20台中发生故障不能及时维修”,则80台中发生故障不能及时维修的概率为 P(A1A2A3A4),依题意XB(20,0.01), 此处=np=0.2, 故,P(A1),=P(X 2),故 P(A1A2A3A4) 0.0175231,(2)按第二种方法, 设Y为“80台中同时发生故障的台数”, 此时YB(80,0.01), 此处=np=0.8,则80台中发生故障不能及时维修的概率为,查泊松分布表得 P(Y 4)0.00908,所以，第二种方法更好。,例2.8 一台总机共有300台分机, 总机拥有13条外线, 假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数。,解: 设300台分机向总机要外线的台数为X, 则XB(300,0.03),由注3知, 向总机要外线的分机的最可能台数为8或9台(因=9为整数),例2.9(寿命保险问题) 设在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险, 在一年里每个人死亡的概率为0.002, 每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费, 而死亡时家属可到保险公司领取赔付费2000元。 试问： (1)“一年内保险公司亏本”(记为A)的概率是多少？ (2)“一年内保险公司获利不少于10000, 20000元”(分别记为B1,B2)的概率是多少？,解：每年保险公司收入为250012=30000元, 设X为2500人在一年中死亡的人数, 则保险公司应赔付2000X元, 若A发生, 则有 2000X30000 得 X15（人） 即若一年中死亡人数超过15人, 则公司亏本(此处不计3万元所得利息)。,依题意XB(2500,0.002), 故,即一年内保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上。,同理,即一年内保险公司获利不少于20000元的概率约为0.62,
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