计算方法的一般概念.ppt

计算方法,参考教材 (Text Book) 计算方法 邓建中 刘之行 西安交通大学出版社, Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析 （英文版 第3版 ） David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社), Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）,数值分析 李庆扬等 清华大学出版社,数值分析 冯果忱等 高等教育出版社,基础知识,高等数学、线性代数,掌握一种语言、会用Matlab,学习方法,1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系,3 误差,1 数值计算的研究对象与特点,2 数值问题与数值方法,第1章 计算方法的一般概念,本章要点:,绝对误差(限)和相对误差(限),有效数字位数及其与误差的关系,数值问题的性态与误差的关系,数值算法设计原则,以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历 三个过程:,总体设计模型的细化,详细设计主要为算法设计,程序设计,计算机数值方法研究的是将数学模型化为数 值问题，并研究求解数值问题的数值方法进 而设计数值算法,1 计算机数值方法的研究对象与特点,数值问题：,输入数据与输出数据之间函数关 系的一个确定而无歧义的描述,即：,输入与输出的都是数值的数学问题,如求解线性方程组,求解二次方程,是数值问题,一、数值问题,2 数值问题与数值算法,求解微分方程,不是数值问题,将其变成数值问题，即将其“离散化”,二、数值方法,数值方法:,是指解数值问题的在计算机上 可执行的系列计算公式,在计算机上可执行的公式,是指只含有加减乘除的公式,现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt(),常见的在计算机上不能直接运行的计算有:,开方、极限、超越函数、微分、积分等等,要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算,应化为,如求根公式,应化为公式,研究数值方法的主要任务:,1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算,2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式,3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性,本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、 及插值、拟合等问题寻找行之有效的数值方法,三、数值算法,数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.,数值算法有四个特点:,1.目的明确,算法必须有明确的目的,其条件和结论均应有清楚的规定,2.定义精确,对算法的每一步都必须有精确的定义,3.可执行,算法中的每一步操作都是可执行的,4.步骤有限,算法必须在有限步内能够完成解 题过程,例1. 给出等差数列1,2,3,10000的求和算法,解:,记数器置零,一、误差的种类及来源,模型误差,在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别.,观测误差,在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差,截断误差,由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷,3 误差,过程进行的运算有限化,对无穷过程进行 截断,这就带来误差.,如:,若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差,Taylor展开,舍入误差,在数值计算过程中还会遇到无穷小数, 因计算机受到机器字长的限制,它所能 表示的数据只能有一定的有限位数,如 按四舍五入规则取有限位数,由此引起 的误差,数值计算中误差是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差,经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得 惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的 研究对象.,二、误差和误差限,定义1.,绝对误差限或误差限,定义2.,relative error,绝对误差限,相对误差限,往往未知,代替相对误差,代替相对误差限,例1.,解:,例2.,解:,可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位,有4位有效数字,有6位有效数字,三、有效数字,定义3.,有8位有效数字,只有4位有效数字,例3.,求下列四舍五入近似值的有效数字个数.,3个,3个,4个,4个,3个,5个,例4.,实际上只1有个,例5.,从以上分析可见,四舍五入的近似值的数字都是有效数字,而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字,四、误差的传播与估计,即,绝对误差 增长因子,相对误差 增长因子,思考:,试分析四则运算、乘方和开方的误差传播规律,数据误差影响的估计,数据误差影响的估计,五、数值方法的稳定性与算法设计原则,例7.,计算定积分,解:,误差放大 5千倍!,但如果利用递推公式,因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则,1. 四则运算中的稳定性问题,(1) 防止大数吃小数,这一类问题主要由计算机的位数引起,假如作一个有效数字为4位的连加运算,误差会放大,误差不会放大,而如果将小数放在前面计算,在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加, 如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.,(2) 作减法时应避免相近数相减,两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失,由于,在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变 计算公式,如使用三角变换、有理化等等,(3) 避免小数作除数和大数作乘数,由误差传播的估计式,在算法设计时,要避免这类算法在计算公式中出现,2. 提高算法效率问题,(1) 尽量减少运算次数,8次乘法运算而不是255次,使用秦九韶算法,对多项式,可大大减少计算量,(2) 尽量使用耗时少的运算,(3) 充分利用存储空间,