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北京三帆中学2015-2016学年度第一学期期中考试试卷九年级 数学班级姓名学号成绩注意：（1）时间120分钟, 满分120分； （2）请将答案填写在答题纸上。一、选择题（本题共30分, 每小题3分, 下列各题均有四个选项, 其中只有一个是符合题意的）1抛物线的开口方向和顶点坐标分别是A向上, （2, 4） B向上, （-2, 4） C向下, （2, 4） D向下, （-2, 4）2已知, 如图, 在RtABC中, C90, BC3, AC=4, 则sinB的值是AB C D3如图, 在ABC中, D, E分别是AB, AC边上的中点, 连接DE, 那么ADE与ABC的面积之比是A1:16 B1:9 C1:4 D1:24如图, A, B, C三点在正方形网络线的交点处, 则的值为A B C D5已知方程的解是那么抛物线与轴的两个交点的坐标分别是A（0, 5）,（0, -3）B（-5, 0）,（3, 0）C（0, -5）,（0, 3）D（5, 0）,（-3, 0）6二次函数的图象如图所示, 将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为A BC D7某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”, 如图1所示, 点是栏杆转动的支点, 点是栏杆两段的联结点当车辆经过时, 栏杆最多只能升起到如图2所示的位置, 其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计）, 其中ABBC, EFBC, AEF=143, AB=AE=1.2米, 那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（参考数据：sin 37 0.60, cos 37 0.80, tan 37 0.75）图1图2 图1 图2 图3 A B C D 8为了测量被池塘隔开的A, B两点之间的距离, 根据实际情况, 作出如图图形, 其中ABBE, EFBE, AF交BE于D, C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据： BC, ACB； CD, ACB, ADB； EF, DE, BD； DE, DC, BC能根据所测数据, 求出A, B间距离的有A1组B2组C3组D4组9若抛物线（t为实数）在的范围内与x轴有公共点, 则t的取值范围为A0t4 B0t4 C0t1 Dt010如图1, 在等边ABC中, 点E, D分别是AC, BC边的三等分点, 点P为AB边上的一个动点, 连接PE, PD, PC, DE设BP=x, 图1中某条线段的长为y, 若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示, 则这条线段可能是图1中的图2图1 A线段PD B线段PC C线段PE D线段DE班级姓名学号二、填空题（本题共18分, 每小题3分）11将二次函数化成的形式 12在ABC中, C90, , 则sin A 13若抛物线过原点, 则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为 14北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华. 经测算发现, 太和殿, 中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿, 南至太和门, 西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意. 根据测量数据, 三大殿台基的宽为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽为 丈. 15如图, 在ABC中, AB=5, AC=4, E是AB上一点, AE=2, 在AC上取一点F, 使以A, E, F为顶点的三角形与ABC相似, 则AF的长为 16已知二次函数的图象与x轴交于（, 0）和（, 0）, 其中, 与轴交于正半轴上一点下列结论：；其中正确结论的序号是 三、解答题（本题共30分, 每小题5分）17计算: 18已知：如图, 在中, D是AC上一点, E是AB上一点, 且AED =C.（1）求证：AEDACB；（2）若AB=6, AD=4, AC=5, 求AE的长.19在二次函数中, 函数y与自变量x的部分对应值如下表：x01234y30-10m（1）求这个二次函数的解析式及m的值；（2）在平面直角坐标系中, 用描点法画出这个二次函数的图象（不用列表）；（3）当y3时, 则x的取值范围是_.20如图,热气球的探测器在点A, 从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45, 看这栋高楼底部C的俯角为60, 热气球与高楼的水平距离AD为30米, 求这栋楼的高度（取1.73, 结果精确到0.1米）.21如图, 在平面直角坐标系中, ABC的顶点坐标分别为A（2, 0）, B（3, 2）, C（5, -2）. 以原点O为位似中心, 在y轴的右侧将ABC放大为原来的两倍得到.（1）画出；（2）分别写出B, C两点的对应点, 的坐标.22已知：关于x的函数的图象与x轴有且只有一个公共点, 求实数a的值 四、解答题（本题共20分, 每小题5分）23如图, 在等边ABC中, D, E, F分别为边AB, BC, CA上的点, 且满足DEF=60.（1）求证：； （2）若DEBC且DE=EF, 求的值. 班级姓名学号24如图, 在RtABC中, C=90, , 点D在BC边上, DC= AC = 6.（1）求AB的值；（2）求tan BAD的值25学校要围一个矩形花圃, 其一边利用足够长的墙, 另三边用篱笆围成, 由于园艺需要, 还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示）, 总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求ABAD）, 矩形花圃ABCD 的面积为S平方米（1）求S与之间的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大, AB边的长应为多少米？26定义：直线y=ax+b(a0)称作抛物线y=ax2+bx(a0)的关联直线. 根据定义回答以下问题：（1）已知抛物线y=ax2+bx(a0)的关联直线为y=x+2, 则该抛物线的顶点坐标为_；（2）求证：抛物线y=ax2+bx与其关联直线一定有公共点；（3）当a=1时, 请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）.五、解答题（本题共22分, 第27题7分, 第28题7分, 第 29题8分）27已知：抛物线：与抛物线关于y轴对称, 抛物线与x轴分别交于点A（-3, 0）, B（m, 0）, 顶点为M（1）求b和m的值；（2）求抛物线的解析式；（3）在x轴, y轴上分别有点P（t, 0）, Q（0, -2t）, 其中t0, 当线段PQ与抛物线有且只有一个公共点时，求t的取值范围.28在RtABC中, ACB=90, A=30, D为AB的中点, 点E在线段AC上, 点F在直线BC上, EDF=90.（1）如图1, 若点E与点A重合, 点F在BC的延长线上, 则此时=_；（2）若点E在线段AC上运动, 点F在线段BC上随之运动（如图2）, 请猜想在此过程中的值是否发生改变. 若不变, 请求出的值；若改变, 请说明理由.（3）在（2）的条件下, 在线段EC上取一点G, 在线段CB的延长线上取一点H, 其中, 请问k为何值时, 恒有GDH=90. 请在图3中补全图形, 直接写出符合题意的k值, 并以此为条件, 证明GDH=90. 图1 图2 图329如图1, 在平面直角坐标系中, 有一张矩形纸片OABC, 已知O（0, 0）, A（4, 0）, C（0, m）, 其中m为常数且m2, 点P是OA边上的动点（与点O, A不重合） 现将PAB沿PB翻折, 得到PDB；再在OC边上选取适当的点E, 将POE沿PE翻折, 得到PFE, 并使直线PD, PF重合（1）设P（x, 0）, E（0, y）, 求y关于x的函数关系式, 并求y的最大值（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时, 若翻折后点D落在BC边上（如图2）, 求过E, P, B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的情况下, 在该抛物线上是否存在点Q, 使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若存在, 求出点Q的坐标；若不存在, 说明理由 图1 图2北京三帆中学2015-2016学年度第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准 2015.11一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号12345678910答案CDCABDACBA二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号111213141516答案（4,0）72或阅卷说明：15题只写对1个，给2分；两个都写对，但有其他错误答案，给2分.16题少写1个，给2分；选错误答案，给0分.三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.解：4分5分18.(1)证明：在AED和ACB中，A=A，AED =CAEDACB2分(2)解：AEDACB3分AB=6，AD= 4，AC=5即AE的值为5分19. (1)解：抛物线过点（1,0），（3,0）可设抛物线解析式为过点(0,3)a=12分当x=4时，m=33分抛物线的解析式为，m的值为3(2)在平面直角坐标系中画出函数图象（不用列表）4分(3) x的取值范围是0x45分20.解：由题意，ADBC于D，即BDA=CDA=90BDA=90，BAD=45，AD=30BD=ADtanBAD=30tan45=30（米）2分CDA=90，CAD=60，AD=30CD=ADtanCAD=30tan60=51.9（米）3分BC=BD+CD81.9（米）4分答：这栋楼的高度约为81.9米. 5分说明：BD和CD求对任一个即给2分.21.(1) 画出ABC 3分 (2)B（6,4），C（10，-4）5分说明：画图中，每个顶点1分，如果忘记连线，在原有基础扣1分.B和C坐标各1分.22.解：y=0，即当a=0时，x=0，符合题意1分当a0时，由题意=03分 4分解得5分综上，a的值为0或.四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.(1)证明：等边ABCB=C=60又DEF=60DEF=B DEC是DBE的外角DEC=B+BDE即DEF+FEC=B+BDEDEF=BBDE=CEF 1分又B=CBDECEF 2分3分(2)解：BDECEF又DE=EF，即BD=CE 4分DEBC即DEB=90，B=60即. 5分24.解：(1)C=90，AC = 6， 1分 AB = AC/sin B=10 . 2分(2)过点B作BEAD交AD的延长线于点E.C=90，AC = 6，AB =10又CD=6BD=BC-CD=23分C=90，DC= AC = 6，tanADC=AC/AD=1，AD=ADC=45BDE=ADC=45又BD=2，BEAD即E=90BE=DE=BDcos45=AE=4分tanBAD=. 5分法二：过点D作DHAB于点H（用三角函数或面积法求DH）25. 解：(1) 由题，AB=x，BC=36-3xS=ABBC=x(36-3x)=-3x2+36x1分(0x9)2分（2）3分 069 x=6时，S取得最大值1084分 答：要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为6米.5分26.(1)（-1，-1）.1分(2)证明：抛物线y=ax2+bx与y=ax+b相交ax2+bx=ax+bax2+(b-a)x-b=02分3分抛物线y=ax2+bx与其关联直线一定有公共点.4分(3) 抛物线y=x2+bx与其关联直线恒过点（1，1+b）抛物线y=x2+bx与其关联直线恒过点（-b，0）抛物线y=x2+bx与其关联直线恒有一个交点在x轴上当x-b/2时，抛物线y=x2+bx与其关联直线均是从左到右呈上升趋势（写出一个即可）5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第 29题8分）27.解：(1) 抛物线过点 A（-3,0） 1分：令，则解得 2分(2)：M(-2, -2) 点M关于y轴的对称点N(2,-2)3分：4分(3)由题意，点A(-3,0)与D，点B(-1,0)与C关于y轴对称，D(3,0), C(1, 0)P（t, 0）, Q（0, -2t）PQ：y=2x-2t当PQ过点C时，即P与C重合时，t=1当PQ过点D时，即P与D重合时，t=35分当直线PQ与抛物线有且仅有一个公共点时，即方程中=0，得t=13/46分综上，由图得，当1t3或t=13/4时，PQ与抛物线有且仅有一个公共点.7分28.(1)=；1分(2)猜想：在此过程中，的值不变. 解：过点D作DMAB交BC的延长线于点M.MDA=MDB=90，即1+3=90又EDF=2+3=901=2ACB=MDB=90A=90-B，M=90-BA=MADEMDF3分D为AB中点DA=DB在此过程中，的值不变，恒为.4分法二：过点D作DMAC于M，DNBC于N.(3)k=.5分证明：由（2）得四边形CEDF中，ACB=EDF=90，4+6=360-ACB-EDF=180又5+6=1804=5EGDFHD6分EDG=FDHEDF=EDG+FDG=90FDH+FDG=90即GDH=90 7分 29.解：(1) 由题，AB=OC=m，OA=4，EOP=PAB=90，P(x，0)，E(0，y)，OP=x，OE=y，AP=4-x翻折EPO+APB=90又EPO+OEP=90OEP=APBOEPAPB 1分，2分x=2时，y取得最大值3分 (2)由题B（4,3），PBA=ABC/2=45易得BAP和EOP为等腰直角三角形PA=AB=3OP=1OE=OP=1P（1,0），E（0,1）4分可设过B、P、E的抛物线为过点（4,3）和（1,0）解得a=1/2，b=-3/25分(3)由题可知EPB=90，Q1(4,3)符合题意6分EQ2BP，BP：y=x-1EQ2：y=x+1与抛物线解析式联立求得Q2（5,6）8分综上：Q点的坐标是（4,3）或（5,6）.2015-2016学年第一学期期中考试九年级数学试卷第14页（共6页）
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