数学建模-森林救火建模.ppt

上传人:xt****7 文档编号:2850591 上传时间:2019-12-02 格式:PPT 页数:16 大小:1.73MB
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资源描述
森林救火模型,森林失火了!消防站接到火警后,立即决定派消防队员前去救火.一般情况下,派往的队员越多,火被扑灭的越快,火灾所造成的损失越小,但是救援的开支就越大;相反,派往的队员越少,救援开支越少,但灭火时间越长,而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失,那末消防站应派出多少队员前去救火呢,(1)问题分析 如题中所述,森林救火问题与派出的消防队员的人数密 切相关,应综合考虑森林损失费和救援费,以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.,救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被烧毁的面积大小决定 ,而烧毁面积与失火、灭火(指火被扑灭)的时间(即火灾持续的时间)有关,灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目,队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外,也与灭火时间长短有关.救援费可具体分为两部分:一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等,与队员人数及灭火时间均有关;另一部分是运送队员和器材等一次性支出,只与队员人数有关.,设火灾发生时刻为t=0,开始救火时刻为t=t1,灭火时刻为t=t2,t 时刻森林烧毁面积为B(t),则造成损失的被烧毁的森林的面积为B(t2),而是森林被烧毁的速度,也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中,被烧毁的森林的面积是不断扩大的,因而B(t)应是时间t的单调递增的函数,即,从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内,火势是越来越大的,即,开始救火以后,即 时,如果队员灭火 能力足够强,火势会越来越小,即 并且当t=t2时,,(2)模型假设 森林中树木分布均匀,而且火灾是在无风的条件下发生的; 损失费与森林烧毁面积B(t2)成正比,比例系数为C1,即烧毁单位面积的损失费为C1;,在建立数学模型之前,需要对烧毁森林的损 失费、救援费及火势蔓延程度 作出合理的 假设., 从失火到开始救火这段时间内,火势蔓延程度 与时间t成正比,比例系数为,称之为火势蔓延速度,即, 派出消防队员x名,开始救火以后( ), 火势蔓延速度降为 (线性化),其中 可 视为每个队员的平均灭火速度,且有 : 因为要扑灭森林大火,灭火速度必须大于火势 蔓延的速度,否则火势将难以控制;, 每个消防队员单位时间费用为C2(包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等),救火时间为t2-t1,于是每个队员的救火费用为C2(t2-t1);每个队员的一次性支出为C3(运送队员、器材等一次性支出).,对于假设3可作如下解释:由于森林中树木分布均匀,且火灾是在无风条件下发生的,因而火势可看作以失火点为中心,以均匀速度向四周呈圆形蔓延,因而蔓延半径r与时间t成正比,又因为烧毁面积B与 成正比,故B与 成正比,从而 与t成正比,(3)模型建立 总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2,森林损失费等于烧毁面积B(t2)与单位面积损失费C1的积,即C1B(t2);由假设5,救援费为 C2x(t2-t1)+C3x,因此,总费用为,由假设3,4,火势蔓延速度 在 内线性地增加,t1时刻消防队员到达并开始救火,此时火势用b表示,而后,在 内,火势蔓延的速度线性地减少(如下图),即,因而有,烧毁面积为 恰为图中三角形的面积.,由b的定义有 ,于是,所以 其中只有派出的消防队员的人数是未知的.,问题归结为如下的最优化问题:,(4)模型求解 这是一个函数极值问题. 令 容易解得,(5)模型分析与改进 应派出的(最优)消防队员人数由两部分组成,其中 是为了把火扑灭所必须的最低限度,因为是火势蔓延速度,而是每个队员的平均灭火速度,同时也说明这个最优解满足约束条件,结果是合理的., 派出的队员数的另一部分,即在最低限度基础之上的人数,与问题的各个参数有关.当队员灭火速度和救援费用系数C3增大时,队员数减少;当火势蔓延速度、开始救火时的火势b及损失费用系数C1增加时,消防队员人数增加;当救援费用系数C2增大时,队员人数也增大.,改进方向: i 取消树木分布均匀、无风这一假设,考虑更一般 情况; ii 灭火速度是常数不尽合理,至少与开始救火时的火势有关;,iii 对不同种类的森林发生火灾,派出的队员数应不同,虽然(火势蔓延速度)能从某种程度上反映森林类型不同,但对相同的两种森林,派出的队员也未必相同; iv 决定派出队员人数时,人们必然在森林损失费和救援费用之间作权衡,可通过对两部分费用的权重来体现这一点.,
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