2019-2020年高考数学复习点拨 直线.平面问题易错点分析.doc

2019-2020年高考数学复习点拨 直线.平面问题易错点分析直线、平面是立体几何的重要内容，学生在学习这部分知识时，经常因为概念不清、主观臆断、空间想象能力差而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考一、概念不清例1 如图1-1，二面角为锐角，E、F为两个面上的两点，若E、F到棱AB的距离EC=FD。求证：EF与平面所成的角也相等。DEB错解 如图1-1，在平面内，分别FCA过E、F作ECAB、FDAB，垂足为C、D。连结ED、FD。EC=DF，图1-1CD=CD，RtECDRtFDC。ED=FC，又EF=EF，ECFFDE。EFC=FED。即EF与平面所成的角相等。辨析 由题意，EC只垂直AB，而不垂直于平面，根据直线与平面所成角的定义知，EFC不是EF与平面所成的角，而FED也不是EF与平面所成的角。因此，以上证明是错误的，造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清。正解 如图1-2，作EG，G、H为HE垂足。连结GF、EH，则EFG、FEH分DCBA别是EF与、所成的角。连结CG、DH。FGABEC，由三垂线定理的逆定理，得图1-2ABCG。ECG是二面角ABCDFE图2的平面角。同理，FDH也是二面角的平面角。ECG=HDF。则RtEGFRtFHE。则EFG=FEH。故EF与平面所成的角也相等。 二、主观臆断例2 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和D的距离。错解 如图2，在直二面角的面ADC内，自D作DEAC于E，连BE、BD，则BD为所求的距离。DEAC，DE、BE同为两个全等直角三角形斜边AC上的高，DE=BE=AC=（43）5=。平面ADC平面ABC ，DEB=90 。BD=DE= 。辨析 错解中认为BE是RtABC斜边上的高，而BE并不垂直AC。造成错误的原因是主观臆断，以猜测代替证明。正解 作BF=DE= ，EC=DCAC= ，EF=AC-2EC=5-= 。在RtBFE中，BE = ，在RtBED中，BD=。三、随意使用“同理可证”ABCFMDNE图3例3 如图3，已知平面平面，线段分别交、于、，线段分别交、于、，线段分别交、于、，若，求和的面积之比。错解 ，平面分别交、于、。同理，。由等角定理，得，。辨析 在证明过程中，如果两次证明的依据相同，可以使用“同理可证”。上述证明中，平面于、交于、，得，平面于、交于、，得，可用“同理可证”，但就不能用“同理可证”，因为、可能共面，也可能异面，故不一定成立，则两个三角形不一定相似。正解 ，平面分别交、于、。同理。由等角定理，得。，。即和的面积之比为。四、作图有误AEFDBCPQ图42例4 如图41，设二面角P-EF-Q，从点A分别作AB平面P，作AC平面Q，若，.求二面角的度数。错解 过三点的平面和平面分别交于、。EFAC，EFAB。EF平面ABDC。BDEF，CDEF，故BDC为所求二面角的平面角。由BAC=60，故BDC=120，即二面角的平面角P-EF-Q的度数为120。AEFDBCPQ图41辨析 满足条件：AB=3，AC=1，A=60，BDC=120的四边形ABDC是不存在的。也就是说点A不可能在二面角内不，而是在二面角外，由于作图有误，导致计算错误，正解 如图42，过点A、 B、C的平面与EF垂直，故BDC为二面角。AD为A到EF的距离，RtADB、RtACD在同一平面内，且AD为公共边，A、C、B、D四点公圆。BDC=BAC=60，故所求二面角P-EF-Q两度数是60。五、考虑不周例5 在直二面角的棱上任取一点，从这点在两个面内作一条射线和棱成45角，求这两条射线间的尖角。错解 如图5-1，直二面角d- -，AE，且BAD=CAD=45BADCa图51取AB=AC过B作BC交AC于C,连结BDRtBDARtCDA. RtBDC, AB=AC=BC .则BAC为正三角形。BAC=60 。辨析 解题时，因考虑不周，只考虑了AC、AB同向的情况，而漏掉了反向的情况。BDADCa图52ED正解 （1）如图5-1，当AB、AC同向时，BAC=60。（2）如图5-2，当AB、AC反向时，取AB=AC=m，作BDa于D，CEa于E。这里BAD=CAE=45，在BDA中，BD=AD=m 。在DAC中，DC=。 在RtBDC中 BC=，在ABC中BAC=。BAC=120。BABAB1B1A1A1EFEFOa图61图62故所求两射线间的夹角为60或120。六、特殊代替一般例6 已知平面平面，线段AA、BB夹在两平行面之间，若E、F分别是线段AA、BB的中点。求证：EF平面，EF平面错解 如图6-1，平面平面，ABAB。四边形A ABB是梯形EF为梯形A ABB的中位线，EFAB，EFAB。EF平面，EF平面。辨析 一般来讲，AB与AB是异面直线， 于是A A与BB不平行， 四边形A ABB是空间图形，因此EF也不是梯形中位线。这样错解犯了以特殊代替一般的错误。正解 如图6-2，连结形A A、BB、AB，取AB的中点O，连结EO、FO。EO是AAB的中卫线，EOAB。EO平面。同理，FOAB，FO平面平面EFO平面平面。 EF平面，EF平面 。