建筑数学-概率3-统计数据及数字特征.ppt

,秦佑国 燕翔 清华大学建筑学院,统计数据及其数字特征,一次，中日两国建筑学的学生一起到中国的一个乡村做民居调查。中国的学生写的调查报告有大量的图片：民居建筑的写生画，拍的照片，画的测绘图，还有建筑形式和空间描述，文字很有诗意，“皓首老者和黄发小儿，斜阳下”云云；而日本学生的报告也有一些照片，但有大量的社会学调查的数据：家庭人口及其组成，经济收入和来源，土地与房屋，村庄的基础设施，行政和宗族体系等等。 社会调查和分析、建筑策划、建筑设计、城市规划等，都需要了解经济、社会、人口、土地、资源、气候、地理等各个方面的大量的统计数据。这些数据有的是需要亲自去调查的，有的是收集相关资料得到的。问题是如何对收集来的数据进行分析处理，应用到自己的工作和研究中去。,我在1994年受西安机场委托，做机场扩建规划和可行性研究，需要预测今后10年（19952005年）西安机场年旅客吞吐量，并以此为依据规划设计第二航站楼。,首先要了解之前各年（1995年以前）西安机场的年旅客吞吐量。,已知过去15年的数据，如何预测未来10年？ 一种方法是把过去的数据“回归”成一个方程（一条曲线），“拟合”过去的数据，并根据其趋势，加以外推（“趋势外推”），“预测”未来。 民航部门常用的是波布加门公式：,根据已有数据（扣除了1989和1990年的特殊情况）的拟合回归得到计算公式：,计算和预测值见右表和图,一个城市的航空客运量通常和它的经济状况有关，通过与国民生产总值 GNP的相关分析，可以预测在未来经济发展中航空客运量的增长。但西安又 是一个旅游城市，国际旅客数量居全国第二位（1993年），国际旅客绝大都 数是乘飞机的。于是采用了航空客运量与国民生产的总值和旅游游客量二元 相关的方法进行拟合回归。调查了1980-1994年西安的GNP和旅游游客量的数 据，并了解了西安市人大制定的十年经济发展计划和旅游事业规划。,上述二元相关分析的航空客运量的实际值与计算值和预测值如下表所列：,得到二元的回归方程,其中X1是GNP指数，X2是旅客量指数。 复相关系数 r = 0.981,1994年做10年预测，用四种方法预测后取整：2005年西安机场旅客年吞吐量预测值是800万。 现在2005年已经过去，西安机场2005年实际的旅客年吞吐量是：794万。,总体与样本 根据工作和研究的目的和对象，把在同一性质基础上结合起来的许多个别事物的整体称为统计“总体”。 总体由许多“个体”组成，可以是可列举的离散的个体，数量有界，也可数量极大，看作无界，如世界人口；可以是连续变化的事物，如气温、水深，也可看着数量无界。（大量性） 个体的某种属性可以量化而成“指标”，如人的身高，人的年龄。个体结合成总体，是各个个体相同性质指标的结合。（同质性） 各个个体的指标值是不相同的，存在差异。（差异性） 对于个体数量巨大的总体和连续变化的事物，不能逐个一一调查、测量，只能进行“抽样”调查和检测，抽取限的离散的“样本”。 统计学研究如何获取样本，如何从样本分析了解总体的特征。,数学期望与方差,正态分布随机变量的数学期望是 ，方差是 2 。,随机试验的平均值 方差2是：,N=98的一次二项分布试验 平均值：61.38 标准差：12.86,=,累积概率 概率为P（X）的随机变量 X，在取值范围（a，b）（ab)内, X 取值小于等于 Xk 的概率之和：F(x) = P（ x Xk）称为累积概率。 对于离散随机变量： 对于连续随机变量，概率密度函数为 f (x)，累积概率是： 显然，累积分布概率F(x) 在 x 取区间（a，b）的最大值 b 时，为 1： F (x=b) = 1 对于正态分布，取值区间是（，+ ） 正态分布随机变量（如图），累积 分布概（x）就是图中阴影部分的面积。,样本统计量的数字特征,通过调查获取了大量的样本，如何从样本中分析得到统计对象的特性，需要计算样本统计量的数字特征。,实际上，2960名个体，都有各自的身高，但数据太多、太细，简化为分组表达。,列表法,图示法,设对一个调查对象采集的样本数为 n ， 各个样本的数值是 Xi（i=1、2、3、n）。,平均值是各个样本值相加再除以样本数。它是最常用的统计量： 平均年龄、平均身高、平均气温、平均分数等等。 方差是对每个样本值与平均值的差（相对于平均值的偏离）的平方（把正负偏差都统一成正数）求平均。 标准差是方差的开方。,上一届同学在建筑数学课堂上，每人当场测量自己心律的统计（次/分钟），共192人。,平均数 标准差,2个班各30个学生，考试成绩如下表所列,甲班平均成绩 =81.4 标准差 = 10.3 乙班平均成绩 =81.7, 标准差 = 7.8 两班平均成绩 相差无几， 但标准差 甲班比乙班大，表示甲班同学之间分数差距较大，而乙班同学之间差距较小，比较均匀。这从列表中也可以看出。,把每个人的成绩从大到小排列，第15个人（人数的一半，n/2 ）的成绩称为中位数，从上表中可以看出，甲班和乙班的中位数都是85分。 获取了n个样本，把各个样本值从大到小排列，第n/2个样本值称为中位数。,中位数 一个幽默的故事：亿万富翁比尔盖茨和 2 个“穷光蛋”在一个房间里，把 3 个人的财富进行平均，求出平均数，然后宣布：这个房间里的人，平均财富上亿美元。但如果用中位数表述，即从富到穷排队，中间的那个人的财富，3个人中的第2个人，是一个“穷光蛋”，全部家当是1万美元，得到中位数只是1万美元。所以，在一个贫富差别很大的社会里，算人均量不能完全反映问题，还要用中位数。 当一个对象内部差异很大时，用平均数不如用中位数更能反映事物的特征。 众数 样本中中出现次数最多的样本值，用以描述集中趋势。,由表列数据可以看出，最多数的瓦工，每日砌砖量是0.95m3。145个人中有80个人，所以众数是0.95m3。,偏斜度的度量,当两个分布的平均数、中位数和众数的频率（不是数值）都相同时，其分布形态也可能不一样，两者的比较要用到偏斜度。,M0是众数,众数在频率分布的峰值处，中位数是样本数的一半处。,加权平均值 当样本各组数量不等时，引入“权重”系数，即：各组数量占总次数的比重。计算公式：,已知三个企业的工人数及月平均工资，计算这些企业共同的月平均工资：,加权的概念还可以用于各样本的重要性、代表性不同（有点类似代表会议的代表，不同地方的代表其所代表的人口数不同）。,几何平均值,主要适用于比率、指数均值的计算，得出平均发展速度。,GDP年增长率5年分别是10%，12%，9%，8%，10%，这5年GDP平均年增长率就是几何平均：,为方便计算，两边取对数，再反解对数得真值。,累积分布数（值） 对于有差异变化的对象，例如交通噪声，只用平均值(能量平均Leq)和中位数还不能反映。例如夜间，一整夜（9小时）很安静，Leq和中位数的分贝数都不高，但有摩托车飙车，急驶而过，就把人吵醒。交通噪声分析和评价，就有“累积分布噪声级” LN（dB）：L1，L10，L50，L90。L1就是在观察时间内（如夜间9小时），有1%的时间，噪声级（dB数）高过这个值，是突发噪声；L50是中位数，一半（50%）的时间噪声级高于它，一半（50%）的时间低于它；L10是噪声“峰值”，L90就是“背景噪声级”。,清华大学西北小区24小时环境噪声测量,对于交通噪声评价美国采用L10，中国采用Leq，日本采用L50。,噪声劳动保护标准限值 长期在强噪声环境下工作，会损害工人的听力。各国都制定了噪声暴露的劳动保护标准，规定每天8小时工作连续暴露的等效连续噪声级Leq dB（A）的限值。依据是对强噪声暴露下的不同工龄的工人（美国曾对纺织女工）的听力进行调查，国际标准化组织ISO根据各国的调查数据于1971年曾公布不同工龄（年）噪声暴露下Leq dB（A）与噪声性耳聋发病率的关系（%）。,我国在上世纪70年代末80年代初，为制定中国的噪声劳动保护标准，曾经对不同行业的一万多个作业场所的噪声状况进行了调查。但在确定限值时发生了争议，国际上北欧、苏联、东欧的限值是85 dB，美国、英国、日本的限值是90dB。中国的现状条件比美、日差，有人提出中国定在90 dB较为确当；但另一种意见说，美、日是资本主义国家，中国是社会主义国家，应该关心工人，限值应定在85dB。当时纺织工业部和机械工业部的代表反对，即使定90 dB实际也难以执行。最后没有形成“国家标准GB”，只是由劳动部和卫生部发了一个“通知”，对于新建和扩建工厂要求85 dB，现有工厂可以是90dB。10年以后，制定国家标准，限值是90 dB。保护85%左右的工人。,反映贫富差异的“基尼系数”，实质上就是财富按人口的累积分布：把人口按财富从低到高累积，同时计算财富的累积。如果，人口累积和财富累积“同步”，人口累积到10%，财富也累积到10%，人口累积到50%，财富也累积到50%，人口累积到100%，财富也累积到100%，这就是基尼系数为0，财富分配绝对平等。如果人口累积到90%，财富累积才到15%，也就是，剩下的10%的人口占有社会85%的财富，贫富差距太大，社会财富分配不公。,图中绿线代表绝对平均状态，人口累积与财富累积同步；蓝线代表绝对不平均（即所有财富被一个人占有）；红线代表某种实际情况。绿红两线之间的面积与绿蓝两线之间的面积之比就是“基尼系数” G。图中绿线和红线之间的面积越小，财富分配越平等。绿线代表G=0，蓝线代表G=1。一般发达国家的基尼系数在0.24到0.36之间，美国偏高，为0.4。我国基尼系数已从改革开放初的0.28上升到2007年的0.48，近两年还不断上升，实际已超过了0.5，这是十分严重的信号。,建筑设计中的人体尺寸,建筑的使用者是人，人体各部在各种活动形态的尺寸与建筑设计密切相关。人的身高是最基本、最重要的人体尺寸。但个人的身高各不相同，需要了解一个国家、一个地区众多人口中，身高的分布情况。,建筑设计资料集（1）（第二版） 建筑工业出版社 1994年出版,人体高度是搜集了240万人的资料，测量了2万5千人得到的。现在中国人的身高有所增加。,建筑与气候密切有关，各地的气候、气象的统计数据是重要的建筑设计参数。包括： 气温：年平均气温、最冷月平均气温、最热月平均气温，最大日较差（昼夜温差）、极端最高气温、极端最低气温；用于建筑保温、隔热、采暖、空调、节能设计等。 风向与风速（全年、冬季、夏季）；用于建筑和小区的通风、防风设计，机场选址和规划，跑道方向要选全年主导风向。还有最大风速用于确定建筑风荷载。 最大降雨强度决定屋面排水设计、城市排水系统设计和防（雨）洪规划。 最大降雪强度决定屋面雪荷载和道路积雪。 以上这些数据（各地不同）都有资料可查，也有设计规范（如建筑荷载规范加以规定。,几个城市的气候数据,把某地各个方向风向出现的频率标示在极坐标上就得到风玫瑰图：,误差与误差控制 在建筑方案设计的说明中，经常会看到有人对总建筑面积的计算非常“精确”，例如，32412.4 m2。这表示他没有误差理论的概念。 1）缺乏“绝对误差”的概念。3万多平米的方案设计，如何精确计算到0.1m2，有没有必要精确到0.1m2？ 2） 缺乏“相对误差”的概念。方案设计，面积控制在5%范围内，已是相当可以了。而相对误差在5%之内，就是2位有效数字即可，用3万2千（3. 2万） m2表示就行了。 在建筑构造、建筑节点设计中，没有精度控制的概念，标注的都是名义尺寸。而机械加工图纸要标示加工尺寸的误差控制范围，50mm0.1mm，100mm 0.1%，有的规定只允许正偏差，有的只允许正负偏差，或正负偏差不一样；还有表面光洁度的控制。 随着对建筑精致性的呼吁，和制造业越来越进入建筑业，建筑师应该有制造业的基本常识：误差理论、精度控制、公差配合、互换性理论。建筑学专业课程教学也要有这方面知识的内容。,无论建造和制造，加工什么零件、部件都有设计尺寸（图纸尺寸）的要求，但加工好的成品的尺寸与设计要求的名义尺寸并不能绝对相符，总因为各种因素会造成与名义尺寸的微小差别，即“误差”。加工设备和工艺的系统问题会产生系统误差，非系统性因数造成误差服从随机分布规律。对于系统性误差，要设法避免和改进，对随机误差，要进行控制，把误差限制在允许的范围内。 “绝对误差”，是实际尺寸与设计的名义尺寸的差值，例如设计直径是30mm，成品直径是30.03mm，大了0.03mm，这就是绝对误差0.03mm，如果成品直径是29.96mm，小了0.04mm，绝对误差是0.04mm。绝对误差与名义尺寸的比（%数）是“相对误差”。前一个的相对误差是0.1%，后者是0.133%。 完全避免误差出现不可能，误差大了又影响使用性能和外表美观，所以要有“误差控制”：消除系统误差，把随机误差控制在允许范围内。,误差控制，举个例子，对于要插入孔的圆轴（点接式玻璃幕墙的金属轴和玻璃上的孔）的加工。如果轴的直径出现正误差，轴粗了，插不进去孔；出现负误差，轴细一点，可以插进去，但负误差大了，就会哐当。所以对轴加工的直径尺寸要有“误差控制”。对于孔，正好相反，孔径不能小了，要大一点，但也不能太大。于是轴与孔的误差控制还需要相互配合“公差配合”。晶艺玻璃幕墙公司的老总对我说：他们对点接式玻璃幕墙轴、孔加工精度控制在0.01mm。门窗尺寸与墙预留洞口尺寸也有误差控制和配合的问题。,制造业的加工图上都要表示精度（误差控制）要求：绝对精度0.几、0.0几毫米（丝或微米），相对精度百分之多少，千分之多少。建筑业的图纸传统上没有精度要求，通常以毫米mm为单位，表示精确到毫米就可以了。或者在施工规范上做大致统一的要求。,伦敦街头,墙上窗洞口是先留，金属窗是后装，两者之间的间隙就有尺寸精度配合。类似机械的轴与轴套。,台湾日月潭涵碧楼游泳池,台湾日月潭涵碧楼60m长的三边漫水游泳池（对池边的水平需要极高的施工精度控制）,无锡凯宾斯基五星级酒店的漫水池，周边不水平，一半漫水，一半干。,北京世纪财富中心大堂的漫水池，周边不水平，局部漫水，局部干。,中外钢结构工艺技术比较,剧院外表共有59个转角，101个面。“幕墙上的花岗岩、玻璃没有一块是重复的，全部要分片、分面定做，再一一装上。”项目管理副总经理余穗瑶说，为此，施工单位事先用电脑做出了模拟图，计算出了每块花岗岩、玻璃的尺寸，再找工厂定做好。问题是：尽管“事先用电脑做出了模拟图，计算出了每块花岗岩、玻璃的尺寸”，但现场施工的结构基底（用以粘贴面层的“胎体”），能否保证足够的精度与面层配合？,广州歌剧院,中国建筑需要呼唤精致性！ 随着现代工业制造技术的迅速提高和对建筑业的进入，盖房子已越来越从机械化的现场施工向工业工艺控制下的工厂制造过渡，建筑设计越来越需要和工业设计相结合。而中国的建筑师还缺乏这方面的教育背景和知识结构。了解和把握现代工艺技术是建筑师的基本功。 我们已经到了必需 变革整个建筑业 基本技术体系的时候了,鲁棒性 robustness 随机误差与系统的稳定性 在控制领域，robustness主要针对受控对象的参数扰动而言，即控制系统不应因为较小的扰动而导致与之不相称的后果，甚至控制失效。 建筑结构的鲁棒性structural robustness，是指结构在意外事件中遭受局部的直接损伤时，不应发生与原因不相称的间接损伤，不致引发大范围连续破坏倒塌。欧洲的建筑设计规范中将鲁棒性定义为：“结构失效的后果不应与其原因不成比例”（the consequences of structural failure should not be disproportional to the effect causing the failure）。比如一个房间发生燃气爆炸，炸毁了一片墙和几根梁，结果整个居住单元从上到下都随之倒塌，就是鲁棒性差的典型体现。1968年英国伦敦的Ronan Point公寓爆炸事件就是这样发生的，此事件直接导致结构鲁棒性研究的重视。 系统鲁棒性研究的是系统中某一或某些元素的丧失对于系统中其他元素或者系统整体功能的影响。,1945年7月28日，一架B25轰炸机在雾中迷失方向，以每小时320公里的速度撞到大厦北部第79层，造成18英尺宽，20英尺高的破损。发动机与燃料引发火灾。一只发动机和部分起落驾穿过大厦，从南侧飞出，砸在街对面的另一幢建筑上。另一只发动机掉进了电梯井，砸在了下面的电梯上。 而2001年9月11日，两架被劫持的飞机撞击纽约世贸大厦，结果两栋110层的大楼，坍塌到底。,从中美农村民宅建筑的差异来看Robust问题,本节结束,洪水水位问题： 自2009年1月1日开始实施的国家标准水文情报预报规范GB/T 22482-2008，根据我国防洪管理工作的实际需要，对洪水等级划分标准重新进行了修订，按洪水要素重现期小于5年、520年、2050年、大于50年，将洪水分为小洪水、中洪水、大洪水、特大洪水四个等级，具体如下： 洪水要素重现期小于5年的洪水，为小洪水； 洪水要素重现期为5年20年的洪水，为中洪水； 洪水要素重现期为20年50年的洪水，为大洪水； 洪水要素重现期大于50年的洪水，为特大洪水。 估计重现期的洪水要素项目包括洪峰水位（流量）或时段最大洪量等，可依据河流（河段）的水文特性来选择。,活荷载问题：,设计基准期内荷载达到和超过该值的总持续时间Tq = ti与整个设计基准期 T 之比等于0.5确定。即Tq /T = 0.5,可变荷载准永久值 Qx= q Qk,q荷载的准永久值系数，且 q=荷载准永久值 /荷载标准值 1.0,t,Q,T,t i,准永久值 Qx,准永久值 (quasi-permanent value),标准值(characteristic value) 按设计基准期（T = 50年）内最大荷载概率分布的某一分位值确定标准值 Q k,组合值（当承受2个可变荷载时）(combination value) 考虑施加在结构上的各种可变荷载不可能同时达到各自的最大值 确定原则：要求结构在单一可变荷载作用下的可靠度与在两个及其以上可变荷载作用下的可靠度保持一致 c Qk 可变荷载组合值 荷载频遇值 (frequent value) 设计基准期内荷载达到和超过该值的总持续时间Tq = ti与整个设计基准期T 之比小于0.1确定。即Tq /T 0.1 f Qk 可变荷载频遇值 c 荷载组合值系数 f 荷载频遇值系数,都江堰,型材窗系统,传统钢窗,