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关于实数完备性的6个基本定理,1. 确界原理（定理1.1）；,2. 单调有界定理（定理2.9）；,3. 区间套定理（定理7.1）；,4. 有限覆盖定理（定理7.3）,5. 聚点定理（定理7.2）,6. 柯西收敛准则（定理2.10）；,在实数系中这六个命题是相互等价的 。,第七章,在有理数系中这六个命题不成立 。,1. 确界原理,在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。,2. 单调有界定理；,在实数系中，单调有界数列必有极限。,即数列的单调有界定理在有理数域不成立。,3. 区间套定理,所以区间套定理在有理数系不成立。,反例：,4. 有限覆盖定理,在实数系中，闭区间a, b的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖a, b。,反例：,5. 聚点定理,实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。,反例：,S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。,5.1 致密性定理：,在实数系中，有界数列必含有收敛子列。,反例：,其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。,故xn在有理数域内没有收敛的子列。,6. 柯西收敛准则,反例：,即柯西收敛准则在有理数域不成立。,几个概念：,区间套（闭区间套），,聚点（3个等价定义及其等价性的证明），,开覆盖（有限开覆盖）。,举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不存在属于所有开区间的公共点。,举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。,但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。,因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，,构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖 ，,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,第八章不定积分,一、主要内容,1、原函数与不定积分的概念。,2、不定积分: (1)存在性;(2)唯一性;(3)如何求？,3、不定积分运算与微分运算的互逆关系。,4、积分表。,5、不定积分的计算： （1）基本思想化归为积分表中的积分；,（2）常用积分方法：,1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；,2）线性运算；,3）换元法： 第一类（凑分法）不需要变换式可逆； 第二类变换式必须可逆；,4）分部积分法常可用于两个不同类型函数乘积的积分； “对反幂三指，前者设为u”,5）三种特殊类型函数 “程序化”的积分法。,注：检验积分结果正确与否的基本方法。,（3）求积分比求微分困难 1）没有万能的积分法； 2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积不出来”，如,另外：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,6、基本积分表,是常数),7、凑微分常见类型:,凑微分时常用到：,凑微分法就是设法把,一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。,三角代换去掉如下二次根式：,可令,可令,可令,8、常用代换:,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令x=tn, （其中n为各根指数的最小公倍数）,当分母的阶分子的阶时, 可考虑试用倒代换：,一、主要内容,1、定积分的定义,第九章 定积分,定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；,与积分变量记号的选择无关。,（2） 利用牛顿-莱布尼兹公式。,2、定积分的计算,在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：,3、定积分的几何意义,面积的代数和。,4、定积分的性质,线性、,关于积分区间的可加性、,估值不等式、,积分第一、第二中值定理。,5、定积分与不定积分的联系,（1）变上限积分的导数公式；,保号性、,（2）牛-莱公式。,（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。,因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，,而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。,所以可积函数不一定有原函数。,即说明有原函数的函数不一定可积。,6、可积条件,必要条件 若函数f在a,b上可积，则f在a,b上必定有界。,充要条件（1） 函数f在a,b可积当且仅当：,使得属于T的所有小区间中，,充要条件（2） 函数f在a,b可积当且仅当：,对应于振幅 的那些小区间 的总长,7、可积函数类,1、在a,b上连续的函数在a,b可积。,2、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。,3、在 a,b上单调的有界函数在a,b上可积。 （允许有无限多个间断点）,但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。,在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在a,b可积。,8、利用不定积分计算定积分,（1）线性；,恒等变形；,换元；,分部积分；,一些特殊类型函数的积分。,（2）与不定积分法的差别,（3）利用对称性、周期性及几何意义。,牛-莱公式,积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。,（4） 开偶次方时，要带绝对值。,9、杂记,（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。,（2） 对D(x)和R(x) 的可积问题多一些关注。,1、微元法的理论依据,第10章,2、名称释译,3、所求量的特点,4、解题步骤,平面图形的面积,直角坐标,参数方程,极坐标,弧微分,弧长,旋转体体积,旋转体侧面积,?,5、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,上曲线减下曲线对x积分。,A,x=f(y),（图5）,x=g(y),右曲线减左曲线对y积分。,一般解题步骤：,（1）画草图，定结构；,（2）解必要的交点，定积分限；,（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。,注意：答案永远为正。,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,(5) 变力所作的功,(6) 液体压力,(7) 引力,(8) 函数的平均值,第11章,一、两类反常积分的概念,a为任意常数,如果a,b都是瑕点，则定义,c为(a,b)内任一实数。,当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。,二、计算方法求正常积分+求极限；,三、两类反常积分的判敛方法,1、Cauchy准则,2、比较法则,通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。,3、Dirichelet判别法和Abel判别法,用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。,四、绝对收敛与条件收敛,定积分：,无穷积分：,瑕积分：,第12章,数项级数,正项级数,交错级数,一般项级数,收敛级数的基本性质：,3. 级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和一般会有影响。,4 . 收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结合律）；,5. 绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变（即有交换律）。,6. 收敛级数与发散级数的和必为发散级数。,正项级数审敛法,1、比较法（un为有理表达式时）；,2、比式法（un含n!时）；,3、根式法（un含n次方时）；,4、积分法 ( ）；,5、拉贝法（ ）；,交错级数审敛法,这是Dirichelet判别法的特殊情形。,一般项级数审敛法,1、Abel判别法，,2、Dirichelet判别法。,用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。,则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.,绝对收敛级数的性质,条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。,第13章,等价于下列3条之一：,好用！,典型例题：,I,的常用判定法：,等价于下列3条之一：,典型例题：,（1）优级数判别法,（2）Abel判别法,（3）Dirichelet判别法,的常用判定法：,一致收敛函数列的性质：,（1）,（2）,（3）,一致收敛函数项级数的性质,(1),(2),（3）,第14章,一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域,说明幂级数存在收敛半径。,收敛半径的求法：,（1）根式法，,（2）比式法，,这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。,幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。,二、幂级数的性质,（1）在收敛区间内闭一致收敛，,（2）和函数在收敛区间连续，,（3）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。,三、幂级数的求和,通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级数的和函数。,注意这个级数的各种变异。,记住下列幂级数的和函数：,四、函数展开成幂级数,如果f(x) 能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是f(x)的泰勒级数。,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,记住几个特殊函数的展开式：,注意收敛范围。,本章讨论了下面三类问题：,1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。,2、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。,3、函数展开成幂级数的条件及方法。,请同学体会求幂级数和函数的方法，并注意在逐项求积时，收敛域可能扩大，只要幂级数在端点收敛，而和函数在相应点有定义，那么和函数成立的区间就可以包含这个端点。（这是P51.3的结果）,逐项求导时，一般收敛域会减少。,如,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,第十五章,傅里叶级数的理论基础：,三角函数系的正交性,（1）它们的最小公共周期为,（2）任何两个不同的函数相乘在 上积分为0，,（3）任何一个函数的平方在 上积分不为0，,本章重点研究函数展成三角级数的方法。,如果f(x)能展成一致收敛的三角级数，则这个三角级数必是f(x) 的傅里叶级数。,f(x)的傅里叶系数,f(x)的傅里叶级数,f(x)的傅里叶系数,f(x)的傅里叶级数,收敛定理,1、,2、,本章常见题型：,对f(x)作周期延拓，使之成为周期为2 （2l）的函数。,此时答案不唯一。,上述2、3类问题，均不需把延拓结果写出。,
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