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4.3 协方差及相关系数,一、协方差 二、相关系数,定义3.1 设(X,Y)为二维随机变量，称 Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y) 为X与Y的协方差。,一、协方差,1、协方差定义,协方差是反映X与Y相互关系的特征量。由方差定义与协方差定义可知： D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y),证：D(X+Y)=EX+YE(X+Y)2,=E(XE(X)+(YE(Y)2,=EXE(X)2+EYE(Y)2 +2EXE(X)YE(Y),=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),Cov(X,Y)= EXE(X)YE(Y),=EXYXE(Y)YE(X)+E(X)E(Y),=E(XY)E(X)E(Y),例3.1 已知(X,Y)的联合密度函数为 试求Cov(X,Y)。,例3.2 已知(X,Y)的概率密度函数为 试求Cov(X,Y)。,例3.3 已知(X,Y)的联合分布律为 试求Cov(X,Y)。,2、协方差的性质,例3.4 设随机变量X和Y相互独立, 都服从正态分布N(,2), 试求aX+bY与cX+dY的协方差。,解: Cov(aX+bY,cX+dY),=Cov(aX,cX)+Cov(aX,dY) +Cov(bY,cX)+Cov(bY, dY),=acCov(X,X) +adCov(X,Y) +bcCov(Y, X) +bdCov(Y,Y),=acD(X) +(ad+bc)Cov(X,Y)+bdD(Y),=ac2+0+bd2=(ac+bd)2,例3.5 已知(X,Y)的概率密度函数为 试求D(2X3Y)。,注：相关系数是反映X和Y相互关系的一个无量纲的特征量。,定义3.2 设(X,Y)为二维随机变量, D(X), D(Y), Cov(X,Y)分别为X,Y 的方差与协方差, 则称 为随机变量X与Y的相关系数。,二、相关系数,1、相关系数定义,例3.6 已知(X,Y)的概率密度函数为 试求XY,2、相关系数的性质,注: |XY|=1, 称之为X与Y完全相关, 充要条件是存在常数a, b, 使PY=aX+b=1。,10 |XY|1,于是XY成为一个表征X, Y间线性关系紧密程度的量, 当|XY|较大时, 表示X, Y线性相关程度较高, 反之较低。,20 若X,Y相互独立, 且D(X),D(Y)0, 则XY=0。,注: 若X,Y的相关系数XY=0, 则称X与Y不相关。,性质2表明X,Y相互独立时, X与Y不相关; 反之, 若X与Y不相关, 则X,Y不一定相互独立(见下例)。,例3.7 设X的分布律为,但, 当(X,Y)服从二维正态分布时, X,Y不相关与X,Y相互独立是等价的。 这是因为, 当(X,Y)服从二维正态分布N(1,2,12,22,)时, X与Y相互独立的充要条件是=0。,令Y=X 2, 显然X与Y不独立, 但X与Y 是不相关的,
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