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会求一些简单函数的定义域和值域.,1.函数的定义域、值域 在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量， A 叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域.,函数值的集合,x的取值范围,思考探究 函数的值域由哪些因素决定？,提示：函数的值域由函数的定义域和对应关系确定.,2.确定函数定义域的依据,1.函数y ln(2x)的定义域是 ( ) A.1，) B.(，2) C.(1,2) D.1,2),解析：要使函数有意义，只须 ，即 ， 1x2.,答案：D,2.已知函数yf(x)的定义域为1,3，则函数yf(x21) 的定义域是 ( ) A.2,2 B.1,3 C.1，) D. ,解析：f(x)的定义域为1,3 1x213即0x242x2.,答案：A,3.函数f(x) (xR)的值域是 ( ) A.0,1 B.0,1) C.(0,1 D.(0,1),解析：1x210 1,答案：C,4.若 为实数，则函数yx23x5的值域是 .,解析： 为实数，x0， yx23x5(x )2 5， 当x0时，ymin5.,答案：5，),5.若函数f(x) 的定义域为R，则a的取值范 围为 .,解析：由题意知2 10恒成立，即x22axa0恒成立，其等价于4a24a01a0.,答案：1,0,确定函数定义域的原则,1.当函数yf(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中 实数x的集合. 2.当函数yf(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在 x轴上的投影所覆盖的实数的集合. 3.当函数yf(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析 式有意义的实数的集合. 4.当函数yf(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问 题的意义确定.,求下列函数的定义域：,(1)y ； (2)已知函数f(2x1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.,思路点拨,课堂笔记 (1)要使函数y 有意义， 应有 即 有 所以此函数的定义域是x|1x1或1x2.,(2)f(2x1)的定义域为(0,1)， 12x13， 即f(x)的定义域是(1,3).,解：f(x)的定义域为(0,1)， 02x11， ,若本例(2)中交换f(2x1)与f(x)的位置，结论如何？,x0.,即f(2x1)的定义域为x|,x0.,函数值域的求法 1.配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的 值域，其关键在于正确化成完全平方式. 2.换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域 容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如yax b (a，b，c，d均为常数且ac0)的函数常用此 法求解.,3.不等式法：借助于基本不等式ab2 (a0，b0)求数 的值域.用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 条件“一正、二定、三相等”. 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 性求函数的值域，常用到函数yx (p0)的单调性： 增区间为(， 和 )，减区间为( ,0)和 (0， ).,特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于R. (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立；利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键.分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义域，这是求值域的重要环节.,求下列函数的值域.,(1)y ； (2)y2x ； (3)yx .,思路点拨,课堂笔记 (1)y 1 ， 又x21 1，0 1. 01 1， 即函数y 的值域为0,1).,(2)设t ，则x . y1t2t(t )2 . 二次函数的对称轴为t ， 在0，)上y(t )2 的最大值为 ，无最小值， 其值域为(， .,(3)函数yx 是定义域为x|x0上的奇函数，故其图象关于原点对称，故只讨论x0时，即可知x0时的最值和值域. 当x0时，yx 2 4. 当且仅当x2时，等号成立， 当x0时，y4. 综上，函数的值域为(，44，).,如何求y 的值域？,解： 表示点（x，0）到点（0，-1）的距离； 表示点（x，0）到点（2，2）的距离， 故,故值域为,1.对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域 上用相应方法求函数值域. 2.若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影 响，即要考虑分类讨论. 3.可借助函数图象确定函数的值域或最值.,设函数f(x) ， g(x)f(x)ax，x1,3，其中aR，记函数g(x)的最大值与最小值的差 为h(a). (1)求函数h(a)的解析式； (2)画出函数yh(a)的图象并指出h(a)的最小值.,思路点拨,课堂笔记 (1)g(x) ， 当a0时，函数g(x)是区间1,3上的增函数， 此时，g(x)maxg(3)23a， g(x)ming(1)1a，所以h(a)12a； 当a1时，函数g(x)是区间1,3上的减函数， 此时，g(x)ming(3)23a， g(x)maxg(1)1a，所以h(a)2a1； 当0a1时，若x1,2，则g(x)1ax，有g(2)g(x)g(1)； 若x(2,3，则g(x)(1a)x1，有g(2)g(x)g(3)；,因此，g(x)ming(2)12a， 而g(3)g(1)(23a)(1a)12a， 故当0a 时，g(x)maxg(3)23a，有h(a)1a； 当 a1时，g(x)maxg(1)1a，有h(a)a， 综上所述： h(a) ，,(2)画出yh(a)的图象，如图所示. 数形结合，可得h(a)minh( ) .,数形结合的思想是每年高考的必考内容，09年宁夏、海南高考将求分段函数的最值与数形结合思想有机结合，综合考查了考生对函数图象以及数形结合思想的理解和应用，很好的考查了考生综合分析问题、解决问题的能力，这是一个高考命题的新方向.,考题印证 (2009宁夏、海南高考)用mina，b，c表示a、b、c三个数中的最小值.设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,【解析】 f(x)min2x，x2,10x(x0)的图象如图. 令x210x，x4. 当x4时，f(x)取最大值，f(4)426.,【答案】 C,自主体验 已知f(x) (x|x|)，g(x) 函数fg(x) ，值域为 .,解析：当x0时，g(x)x2， 故fg(x)f(x2) (x2|x2|) (x2x2)x2； 当x0时，g(x)x， 故fg(x)f(x) (x|x|) (xx)0. fg(x) 由于当x0时，x20，故fg(x)的值域为0，).,答案：,1.函数y x的定义域为 ( ) A.x|x0 B.x|x1 C.x|x10 D.x|0x1,解析： 或x0.,答案：C,2.若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x) 的 定义域是 ( ) A.0,1 B.0,1) C.0,1)(1,4 D.(0,1),解析：要使g(x)有意义，则 解得0x1，故定义域为0,1).,答案：B,3.函数ylog2xlogx(2x)的值域为 ( ) A.(，1 B.3，) C.1,3 D.(，13，),解析：ylog2xlogx21， log2xlogx22或log2xlogx22， 从而y3或y1.,答案：D,4.定义：区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1.已知函数y 2|x|的定义域为a，b，值域为1,2，则区间a，b 的长度的最大值与最小值的差为 .,解析：a，b的长度取得最大值时a，b1,1，区间a，b的长度取得最小值时a，b可取0,1或1,0，因此区间a，b的长度的最大值与最小值的差为1.,答案：1,5.设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3)，而点B(x,0)在 x轴的正半轴上移动，l(x)表示AB的长，则函数 的值域为 .,解析：依题意有x0，l(x) ， 所以y ， 由于1 25( )2 ， 所以 ， 故0y ，即函数y 的值域是(0， .,答案：(0， ,6.求下列关于x的函数的定义域和值域： (1)y ； (2)ylog2(x22x)； (3)ye (4),解：(1)要使函数有意义，则 0x1， 函数的定义域为0,1. 函数y 为减函数， 函数的值域为1,1. (2)要使函数有意义，则x22x0，0x2. 函数的定义域为(0,2). 又当x(0,2)时，x22x(0,1， log2(x22x)(，0. 即函数的值域为(，0.,(3)函数定义域为xR|x0， 函数值域为yR|01. (4)函数定义域为0,1,2,3,4,5， 函数值域为2,3,4,5,6,7.,
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