东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)3.doc

工程矩阵理论试卷样卷10a一、假如。1、记。证明：是的子空间。2、若A是单位矩阵，求。3、若，。求这里V（A）的一组基及其维数。4、假如。问：对上一题中的和，是否为直和？说明理由。解：1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有，。 设， ， ， 是的子空间。2、若A是单位矩阵，则，因为对单位阵I来说，恒成立，故，。3、若，设，有，即， 有，故=故X的一组基为，维数为2。4、，即，其基为。下面计算 ，若 ，则是直和。=（、基的极大线性无关组），为极大线性无关组（可以不求，从上式即可看出），+不是直和。二、假如，在上定义变换如下：。1、证明：是上的线性变换。2、求在的基下的矩阵M。3、试求M的jordan标准形，并写出的最小多项式。4、问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？解：1、 有： ，有加法封闭 ，有数乘封闭 是上的线性变换。2、 3、 M的若当标准形为，的最小多项式为4、，基础解系为， ，基础解系为这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到的基，使得的矩阵为对角阵。三、设的子空间，求，使得。解：思路：求V的基由该基生成；V 的含义是指在V中找一向量，使得的距离最短，即寻找在V中的正投影。作图如右侧。由，得V的基为，则， 或四、设，求及矩阵函数。解：（2重根）时，故A的jordan标准形为，A的最小多项式为。令， （计算略）令 ， (太麻烦了，不算啦！) 五、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式都等于，并且矩阵。1、分别给出A和B的jordan标准形；2、问：A与B是否相似？为什么？解：A的特征多项式及最小多项式都等于，故A的jordan标准形为： ，A和B有相同的jordan标准形，故A、B相似。六、已知矩阵，求A的广义逆矩阵。解：对A进行分块： 对进行满秩分解， 对进行满秩分解， 七、证明题：1、假如是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换如下：对任意，（镜像变换）。证明：是V上的正交变换。证明：要证是V上的正交变换，只要证明下的矩阵是一个正交矩阵即可。将扩充V上的一组标准正交基， 可看出，下的矩阵中，所有的行向量或列向量均为单位正交向量，故是V上的正交变换。2、设H阵A，B均是正定的，并且AB=BA，证明：AB是正定矩阵。证明： A，B均是正定的H阵，故，且酉矩阵P、Q，st., 要证明AB是正定矩阵，首先要证AB是H阵。 AB是H阵。 即，是正定矩阵，故的特征值均大于0，所认特征值也大于0，故AB正定。7