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2019-2020年高考数学 中等生百日捷进提升系列(综合提升篇)专题07 选讲内容(含解析)几何证明选讲【背一背重点知识】1、比例线段有关定理(1)平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。(2)平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。2、相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定:定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。(2)相似三角形的性质:性质1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比;性质:2:相似三角形周长的比等于相似比;性质3:相似三角形面积的比等于相似比的平方。注:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。3、直角三角形的射影定理射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。4、圆周角定理圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径。5、圆内接四边形的性质与判定定理定理1:圆的内接四边形的对角互补。定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。6、圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。7、弦切角的性质弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。8、与圆有关的比例线段(圆幂定理)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。【讲一讲提高技能】1、 相似三角形的判定与性质的应用(1) 判定两个三角形相似的方法:两角对应相等,两三角形相似;两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;三边对应成比例,两三角形相似;相似三角形的定义(2) 证明线段成比例,若已知条件中没有平行线,但有三角形相似的条件(如角相等,有相等的比例式等),常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解 (3)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素,如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等例1如图3,在平行四边形中,点在上且,与交于点,则 .【解析】2、四点共圆的证明方法 (1)求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角;(2)当它们在一条线段同侧时,可证它们对此线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离相等;如两点在一条线段异侧,则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。例2如图,在正中,点分别在边上,且,相交于点求证:()四点共圆;()【答案】()见解析;()见解析【解析】平面几何中有关角与比例线段问题的求解方法 (1)与切线有关的角度问题,应考虑应用弦切角的性质定理求解; (2)与切线有关的比例式或线段问题,应注意利用弦切角,确定三角形相似的条件,若条件不明显需添加辅助线 (3)与圆有关的等积线段或成比例的线段,常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例,在实际应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割线时要注意应用切割线定理例3过点作圆的割线与切线为切点,连接,的平分线与,分别交于点(1)求证:;(2)若求的大小【答案】(1)见解析;(2)【解析】【练一练提升能力】1. 如图,为的两条切线,切点分别为,过的中点作割线交于两点,若则 .分析:根据切割线定理得,变形即得.【解析】由切割线定理得,所以,所以.2. 如图,为外一点,交于,切于为线段的中点,交于,线段的延长线与交于,连接求证:();()【答案】详见解析【解析】极坐标与参数方程【背一背重点知识】1.平面直角坐标系中的伸缩变换:2.极坐标系(1)极坐标系的概念:平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.(2)直角坐标与极坐标的互化:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,则极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式(3) 常见曲线的极坐标方程:曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线3、参数方程(1)参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.(2)参数方程和普通方程的互化:曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.(3)常见曲线的参数方程: 圆的参数方程为 (为参数);椭圆的参数方程为 (为参数);双曲线的参数方程 (为参数);抛物线参数方程 为参数);过定点、倾斜角为的直线的参数方程(为参数)。【讲一讲提高技能】1、 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴正半轴重合,并在两种坐标系中取相同的长度单位,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化,极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造的形式,其中方程两边同乘以或同时平方是常用的变形方法,要注意变形的等价性。例1以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点若是等边三角形,则的值为_分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式,得到圆、直线的直角坐标方程,由是等边三角形,得到其中一个交点坐标为,代入圆的方程即得.【解析】 2、参数方程与普通方程的互化方法将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法,平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参如sin2cos21等;将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解例2在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线过点的直线(为参数)与曲线相交于点两点(1)求曲线的平面直角坐标系方程和直线的普通方程;(2)若成等比数列,求实数的值【答案】(1),;(2)【解析】 3、利用参数方程解决问题的方法过定点P0(x0,y0),倾斜角为的直线参数方程的标准式为 (t为参数),t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0,y0)的数量,即t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2,则|P1P2|t1t2|,P1P2的中点对应的参数为(t1t2)对于形如 (t为参数),当a2b21时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等例3在极坐标系中,已知曲线,为曲线上的动点,定点(1)将曲线的方程化成直角坐标方程,并说明它是什么曲线;(2)求、两点的最短距离【答案】(1)曲线的直角坐标方程为:且曲线是以为圆心,为半径的圆;(2)【解析】【练一练提升能力】1. 在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,.()求C的参数方程;()设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据()中你得到的参数方程,确定D的坐标. 【答案】()是参数,;()【解析】()设点M是C上任意一点,则由可得C的普通方程为:,即,所以C的参数方程为是参数,.()设D点坐标为,由()知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C在点D处的切线与垂直,所以直线GD与的斜率相同,故D点的直角坐标为,即.2. 已知曲线,直线:(为参数).(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;(II)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值【答案】(I);(II)最大值为,最小值为.【解析】不等式选讲【背一背重点知识】1 三个正数的算术几何平均不等式:(1)定理3:如果a,b,c,那么,当且仅当时,等号成立即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(2) 基本不等式的推广:对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当a1a2an 时,等号成立2. 柯西不等式:(1)二维形式:若a,b,c,d都是实数,则(a2b2)(c2d2) (acbd)2,当且仅当 时,等号成立(2)向量形式:设、是两个向量,则|,当且仅当是向量或存在实数k使k时等号成立(3)一般形式:设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,当且仅当0 (i1,2,n)或存在一个实数k,使得 (i1,2,n)时,等号成立(4)二维形式的柯西不等式变式:|acbd|; |ac|bd|.3. 排序不等式:(1) 乱序和、反序和与顺序和:设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bnR,且a1a2a3an,b1b2b3bn,设c1,c2,c3,cn是数组b1,b2,b3,bn的任意一个排列,则分别将Sa1c1a2c2a3c3ancn,S1a1bna2bn1a3bn2anb1,S2a1b1a2b2a3b3anbn称为数组(a1,a2,a3,an)和数组(b1,b2,b3,bn)的乱序和,反序和,与顺序和(2)排序不等式(又称排序原理):设a1a2an,b1b2b3bn为两组实数,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn,当且仅当a1a2an或b1b2bn时,反序和等于乱序和等于顺序和. 4. 绝对值不等式:(1)定理1:如果a,b是实数,则|ab|a|b|,当且仅当ab0时,等号成立(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当 时,等号成立【讲一讲提高技能】1、 绝对值不等式的解法(1) |axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法:|axb|c(c0)caxbc;|axb|c(c0)axbc或axbc。(2) 、|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法:分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(,a,(a,b,(b,)(此处设ac(c0)的几何意义:数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体,|xa|xb|xa(xb)|ab|;图象法:作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象,结合图象求解注意求解的过程中应同解变形 .例1设 ()当,解不等式;()当时,若,使得不等式成立,求实数的取值范围【答案】();() 【解析】绝对值不等式的证明含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题,或利用绝对值三角不等式性质定理: |a|b|ab|a|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明例2已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求实数的取值范围【答案】(1);(2)【解析】 3、不等式证明的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。例3已知,证明分析:直接利用算术几何平均不等式可得,两式相乘即得要证不等式【解析】,,.【练一练提升能力】1. 已知,函数的最小值为4()求的值;()求的最小值【答案】();()【解析】 2.设a,b,c均为正数,且abc1,证明:(1);(2).【答案】(略)【解析】(1)由, 得.由题设得,即.所以3()1,即.(2)因为,故2(abc),即abc.所以1.解答题(共10题)1.如图,是的一条切线,切点为B,ADE,CFD和CGE都是的割线,(1)证明:;(2)证明:【答案】(1)证明略;(2)证明略【解析】(2)由(1)知,又 , ,又四边形DEGF为圆内接四边形, , 2.如图,已知切于点E,割线PBA交于A、B两点,APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.求证:(); ().【解析】 3、如图,垂直于于,垂直于,连接.证明:(I) (II)【解析】 4、已知曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)分别写出曲线与曲线的普通方程;(2)若曲线与曲线交于两点,求线段的长【答案】(1),;(2)【解析】试题分析:(1)利用同角三角函数关系消去参数,得曲线,利用,得曲线;(2)把曲线和曲线联立消去得,结合弦长公式即可求得弦的长试题解析: (1)曲线,曲线(2)联立,得,设,则,于是故线段的长为5、已知动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.()求的轨迹的参数方程;()将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.【解析】 6、在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数)在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标中,圆的方程为(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值【答案】(1),;(2)【解析】试题分析:(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取恰当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法;(2)将参数方程转化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若有范围限制,要标出的取值范围;(2)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式及直接代入并化简即可;而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形,构造形如,的形式,进行整体代换,其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程的两边平方是常用的变形方法 7、设不等式的解集为,且,.(1)求的值;(2)求函数的最小值.【解析】()因为,且,所以,且 解得,又因为,所以 ()因为 当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为 8、已知函数,(1)当时,解不等式: ; (2)若且,证明:,并求在等号成立时的取值范围【解析】(1)因为, 9、设函数(1)当时,解不等式;(2)若的解集为,求证:【答案】(1);(2)见解析【解析】试题分析:(1)当时,对原函数进行分情况解不等式,得到原不等式的解集;(2)根据的解集为,得到,所以,所以,利用均值不等式得到,结论得证 10、已知函数,其中. (I)当时,求不等式的解集; (II)已知关于的不等式的解集为,求的值.【解析】当时,。,即。当时,即,解得;当时,即,不成立;当时,即,解得。所以不等式的解集为。4分()解:记,则。
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