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1,定义,为D的转置行列式,(转置)行列互换值不变,即,1.4 n 阶行列式的性质,例如,性质1表明关于行的性质对列也成立.,性质1,2,(换法)换行(列)换号,即,性质2,3,两行(列)同值为零,即,推论,4,(倍法)把行列式的某一行(列)的所 有元素同乘以数k, 等于用数k乘以 这个行列式,即,性质3,5,两行(列)成比例，值为零,例如,如果行列式某一行(列)有公因子k时, 则k 可以提到行列式符号的外面,推论,即:,(分拆)如果行列式某行(列)的所有 元素都是两数之和，则该行列式为 两个行列式之和,即,性质4,6,7,例如,8,(消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即,性质5,9,总结行列式性质,性质1,性质2,推论,性质3,推论,性质4,性质5,换行(列)变号.,两行(列)同，值为零.,某行(列)乘数 k=kD.,两行(列)成比例,值为零.,D可按某行(列)分拆成两行列式之和.,D某行(列)乘数 k 加至另行(列), 行列式值不变.,(转置),(换法),(倍法),(消法),10,行列式的性质是有关行列式计算和推 理的基础,必须熟练掌握,会灵活运用.,行列式变换的表示符号,注,行变换,列变换,消法,倍法,换法,11,计算,例7,解 通过行变换将D化为上三角行列式,12,13,设有四阶行列式:,则展开式中x4的系数是( ). (A) 2; (B) 2; (C) 1; (D) 1.,解 含x4的项只有一项,例8,(1)(4321) a14a23a32a41=2x4,14,已知,计算,例9,15,解,由性质4,16,17,下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行 列式计算的问题, 即,1.3 行列式展开定理,定义 在给定的n阶行列式 中,把元素,所在的i 行和j 列的元素划去,剩余元素,记作 ;,构成的n-1阶行列式称为元素 的余子式,而元素 的代数余子式记作,18,19,在行列式,中,例10,20,若 D 的第 i 行元素除 外都是零，,引理,则,行(列)的所有元素与其对应的代数 余子式的乘积之和, 即,定理3,n阶行列式 等于它的任意一,21,22,n阶行列式 ,则,定理4,23,证,及降阶法将 G 按 j 行展开有,由,24,1.定义法利用n阶行列式的定义计算; 2.三角形法利用性质化为三角形行列式来 计算； 3.降阶法利用行列式的按行(列)展开 性质对行列式进行降阶计算； 4. 加边法(升阶法); 5. 递推公式法； 6.归纳法.,总结 n行列式的计算方法,25,计算 n 阶行列式(行和相同),例1,26,解,27,28,计算 n 阶行列式（两道一点）,例2,解,29,计算n+1阶行列式(爪形),其中,例3,30,解,31,当 全不为零时,32,证明n阶(三对角)行列式,例4,其中,33,对行列式阶数n用数学归纳法证明,n=2 时，,结论成立.,证,n=1 时，,结论成立.,34,则对于n阶行列式 按第一行展开有,设n-1, n-2时结论成立,35,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,例5,36,用数学归纳法证明,证,n=2 时，,结论成立.,假设对n-1阶行列式结论成立,下证n阶成立.,从第 n 行开始, 每一行减去前一行的 x1倍, 目的是把第一列除1以外的元素都 化为零.然后按第一列展开, 并提取各列的公因子, 可以得到:,37,38,或者利用递推公式,由上述递推结果即可得到结论.,39,预 习 1.4- 2.2,
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