2019-2020年高考数学 专题34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板.doc

2019-2020年高考数学 专题34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作证解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步 然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步 得出结论.例1正四面体中， 分别为棱的中点，则异面直线与所成的角为A. B. C. D. 【答案】B平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常转化为解三角形的问题处理，要注意异面直线所成角的范围为。【变式演练1】如图，四边形是矩形， 沿直线将翻折成，异面直线与所成的角为, 则（ ）A BC. D【答案】B考点：异面直线所成角的定义及运用.【变式演练2】【xx年衡水联考】在棱长为1的正方体中，点， 分别是侧面与底面的中心，则下列命题中错误的个数为（ ）平面； 异面直线与所成角为；与平面垂直； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】对于，DF，DF平面， 平面，平面，正确；对于，DF，异面直线与所成角即异面直线与所成角，为等边三角形，故异面直线与所成角为，正确；对于， CD，且CD=D，平面，即平面正确；对于，正确，故选：A 【变式演练3】设三棱柱的侧棱与底面垂直，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】B【变式演练4】如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为， 为侧棱的中点，则与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C方法二 空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步 再利用即可得出结论.例2、如图，直三棱柱中，点在线段上.（1）若是中点，证明：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析（2）（II）,故如图建立空间直角坐标系, ， 令平面的法向量为，由，得 设所以, ，设直线与平面所成角为故当时，直线与平面所成角的正弦值为.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 例3、如图，正方形的边长为2，分别为线段的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小【答案】（1）详见解析（2）考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 【变式演练4】已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】考点：异面直线及其所成的角【变式演练5】如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，设，所成的角为，则考点： 线面角.类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步 得出结论.例3如图，四边形是矩形，是的中点，与交于点，平面.（）求证：面；（）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（）证明见解析；（）证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1证法3：（向量法）以为基底， ， ，往下同证法1（2）在中，在中， 在中， 设点到平面的距离为，则，设直线与平面所成角的大小为，则 考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角【点评】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角.【变式演练6】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（ ）A B C D【答案】B考点:直线与平面所成的角【变式演练7】在四面体中，且，为中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）A B C D【答案】D 考点：1平面与平面垂直；2直线与平面所成的角方法二 空间向量法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用即可得出结论.例4 xx衡水金卷大联考如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且 ，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.（2）取的中点,连接.则.平面平面，平面平面，且，平面.，且，四边形为平行四边形，.又，.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.当时，有，【变式演练8】【xx浙江嘉兴市第一中模拟】如图，四棱锥,底面为菱形，平面，为的中点，.（I）求证：直线平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（I）证明：， 又又平面,直线平面.（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系.设平面的法向量，.所以直线与平面所成角的正弦值为【高考再现】1. 【xx课标II，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C 【考点】 异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。2. 【xx浙江，9】如图，已知正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则ABCD【答案】B3. 【xx课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】试题分析：由题意， 是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由 ，又AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作 ，交底面圆 于点D，如图所示，连结DE，则DEBD， ，连结AD，等腰ABD中， ,当直线AB与a成60角时， ，故 ，又在 中， ，过点B作BFDE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知 , 为等边三角形， ，即AB与b成60角，正确，错误.由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线 与 所成的最大角为90，错误.正确的说法为.【考点】 异面直线所成的角 4. 【xx北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值如图建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为. 5. 【xx浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【解析】 【考点】求线面角6. 【xx江苏，22】 如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, . （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； 【考点】空间向量、异面直线所成角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7.【xx天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【反馈练习】1. 【xx河北邢台市育才中学模拟】如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为分别是四边形和正方形的中心，则直线与的夹角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】以为轴建立空间直角坐标系，则：本题选择B选项.点睛：异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2【山西大学附中xx届高三第二次模拟测试数学（理）试题】已知三棱锥的各棱长均相等， 是的中心， 是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A故答案选点睛：本题考查异面直线所成角的问题，根据条件先通过直线的平行构造出异面直线所成角的平面角，然后进行解三角形，注意题目中一些数量关系3【xx黑龙江齐齐哈尔市第八中学模拟】已知正方体，E是棱CD的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】A 4. 【xx湖南五市十校教研教改共同体联考】如图，四边形与均为菱形， ，且.（1）求证： 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.则.5【xx湖北八校第一次联考】四棱锥中， ， ， ， 为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的余弦值. 面面, 在面射影为， 的大小为与面改成角的大小,设，则， ,即与改成角的余弦值为.6【xx河南郑州市第一中学模拟】如图，在四棱柱为长方体，点是上的一点.（2）若， ，当时，直线与平面所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.则 令，则， ，所以所以当，即，时， 取得最大值1.7【xx广西玉林市陆川中学期中】如图所示， 与四边形所在平面垂直，且.（1）求证： ；（2）若为的中点，设直线与平面所成角为，求. 8. 【xx吉林舒兰第一高级中模拟】如图，在四棱锥中， 平面， ， ， ， ， 为线段上的点（1）证明： 平面；（2）若是的中点，求与平面所成的角的正切值【解析】（1）证明：在四棱锥中， 平面，.， . 9. 【xx广雅中学、东华中学、河南名校联考】如图，在三棱柱中， 平面，点是与的交点，点在线段上， 平面.（1）求证： ；（2）求直线与平面所成的角的正弦值. (2)令，则，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，得，设是平面的一个法向量，则，令，得，又,设直线与平面所成的角为，则.10. 【xx河南中原名校联考】在三棱柱中，侧面为矩形， ， ， 是的中点， 与交于点，且平面（1）证明：平面平面；（2）若， 的重心为，求直线与平面所成角的正弦值设平面的法向量为， ，由可得整理得令，则， ，设直线与平面所成角，则，所以直线与平面所成角的正弦值为点睛：本题考查了空间线线垂直，线面垂直，面面垂直，以及用坐标法求线与面所成角的三角函数值，属于中档题.解题时，首先观察图形，建立合适的空间直角坐标系，写出点的坐标，通过计算得到向量坐标，利用相关平行、垂直、夹角的公式计算即可，注意运算得准确性.11.【xx贵州黔东南州联考】如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形， 为正三角形，且分别为的中点， 平面， 平面（1）求证： 平面；（2）求与平面所成角的正弦值（2）解： 12.【xx广西钦州市质检】如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，点、分别为线段、的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成的角的余弦值.（2）由于，以，为，轴建立空间直角坐标系，设，则，则.设平面的法向量为.所以.令，所以.所以平面的法向量为.则向量与的夹角为，则.则与平面夹角的余弦值为.