2019-2020年高二上学期期中考试数学（理）试题 含答案(VII).doc

2019-2020年高二上学期期中考试数学（理）试题 含答案(VII)1、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（）A（2，1，4）B（2，1，4）C（2，1，4）D（2，1，4）2.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若mn，n，则mD若m，则m3.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成的角为（）A45B30C60D904.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） 第4题图 第6题图A64 B72 C80 D112 5.下列说法中正确的个数有（）两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行A1个 B2个 C3个D4个6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A B1 CD7.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：；BAC=60；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直其中正确的是（） 第7题图 第9题图ABCD8.设m、n是不同的直线，、是不同的平的，有以下四个命题：若，则 若，m，则m若mn，n，则m 若m，m，则其中正确命题的序号是（）ABCD9.如图，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且C1EF=90，则AF：FB=( ) A1：1 B1：2 C1：3 D1：410.如图，C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将BMN沿直线MN折起，使二面角BMNB的大小为，则BN与平面ABC所成角的正切值是（） 第10题图 第12题图A B C D11.正四棱锥中，侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，侧面等腰三角形的底角为，相邻两侧面所成的二面角为，则、的大小关系是（ ）（A）（B）（C）（D）12.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是（）A，1B，1C，D，1 第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知，若则实数x= 14.过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有 个。15.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= 第15题图 第16题图16.如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C，E点在线段AC上，若二面角ABDE与二面角EBDC的大小分别为15和30，则=三、解答题（本题共6道小题,共70分）17.如图，在四棱锥PABCD中， PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积18.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值19.在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图将PAB沿AB折到SAB的位置，使SBBC，点E在SD上，且，如图（）求证：SA平面ABCD；（）求二面角EACD的正切值20.如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，（1）当时，求证：BM平面ADEF；（2）若平面BDM与平面ABF所成锐角二面角的余弦值为时，求的值21.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点（）求证：平面平面； （）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值 第21题图 第22题图22.如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABC=BCD=90，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点（1）求证：CE平面ADP；（2）求证：平面PAD平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由1.B【考点】空间直角坐标系【专题】阅读型【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y， z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标【解答】解：在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，y，z），点（2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（2，1，4）故选B【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题2.C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，若m，n，则mn，或m，n相交、异面，故不正确；对于B，若m，m，则或，相交，故不正确；对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；对于D，若m，则m、相交或平行，或m，故不正确故选：C【点评】本题考查的知识点是空间直线与平面位置关系的判断，熟练掌握直线与平面之间位置关系的判定定理，性质定理，及定义和空间特征是解答此类问题的关键3.C【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图将BC1平移至AD1处，D1AC就是所求的角，又AD1C为正三角形D1AC=60故选C【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题4.B【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3分别求体积，再相加即可【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3体积，故该几何体的体积是64+8=72故选B【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题5.B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】根据面面平行的性质判断线段相等，不一定平行利用平面与平面平行的性质，可得正确；分类讨论，可得结论【解答】解：解：根据面面平行的性质，可知夹在两平面间的平行线段相等，正确夹在两平面问的相等的线段不一定是平行的，所以错误两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例，利用平面与平面平行的性质，可得正确；如果两个平面平行，则夹在两个平面间的三条平行线段一定相等，如果两个平面相交，则夹在两个平面间的三条平行线段可能相等，故这两个平面平行或相交，不正确故选：B【点评】本题主要考查空间直线和平面平行和面面平行的性质，根据相应的平行定理是解决本题的关键6.A【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；底面ABC的面积为S1=21=1，侧面PAB的面积为S2=1=，侧面PAC的面积为S3=21=1，在侧面PBC中，BC=，PB=，PC=，PBC是Rt，PBC的面积为S4=；三棱锥PABC的所有面中，面积最大的是PBC，为故选：A【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目7.B【考点】棱锥的结构特征；向量的数量积判断向量的共线与垂直【专题】常规题型【分析】由折叠的原理，可知BD平面ADC，可推知BDAC，数量积为零，因为折叠后AB=AC=BC，三角形为等边三角形，所以BAC=60；又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断平面ADC和平面ABC不垂直【解答】解：BD平面ADC，BDAC，错；AB=AC=BC，对；DA=DB=DC，结合，对错故选B【点评】本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题8.B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】根据面面平行的性质进行判断，根据线面垂直和面面垂直的性质和判定定理进行判断，根据线面平行的判定定理进行判断，根据线面垂直，线面平行和面面垂直的性质进行判断【解答】解：若，则，成立，故正确，若，m，则m或m或m，故错误，若mn，n，则m或m，故错误，若m，m，则成立，故正确，故正确是，故选：B【点评】本题主要考查与空间直线和平面平行或垂直的命题的真假的判断，要求熟练掌握空间线面，面面平行或垂直的性质定理和判定定理9.C【考点】棱柱的结构特征【专题】空间位置关系与距离【分析】设出正方体的棱长，求出C1E，利用C1EF=90，通过C1F求出x的值，即可得到结果【解答】解：解：设正方体的棱长为：2，由题意可知C1E=3，C1EF=90，所以设AF=x，12+x2+C1E2=22+22+（2x）2，解得：x=，所以AF：FB=：=1：3；故选：C【点评】本题是基础题，考查正方体的变的计算，考查直角三角形的利用，长方体的性质，考查计算能力10.D【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所成角的定义要找到斜线BM在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可【解答】解：C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将BMN沿直线MN折起，使二面角BMNB的大小为，BMB=，取BM的中点D，连BD，ND，由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，折叠之后平面BMN与平面BMN所成的二面角即为BMD=60，并且B在底面ACB内的投影点D就在BC上，且恰在BM的中点位置，BDBC，BDAD，BD面ABC，BND就为斜线BN与平面ABC所成的角设AC=BC=a，则BD=，BN=，DN=，tanBND=故BN与平面ABC所成角的正切值是故选：D【点评】本题考查平面图形的翻折与线面角的问题，应注意折前与折后的各种量变与不变的关系，而对于线面角的求解通常有传统的求作角、解三角形法及向量方法，这个内容是高考中三个角的重点考查内容之一，一般不会太难，但对学生的识图与空间想象能力的要求较高，是很好区分学生空间想象能力的题型11.A12.B【考点】直线与平面所成的角【专题】空间角【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是不妨取AB=2在RtAOA1中， =sinC1OA1=sin（2AOA1）=sin2AOA1=2sinAOA1cosAOA1=，=1sin的取值范围是故选：B【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题13.4【考点】空间向量的数量积运算【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用【分析】利用向量垂直的性质求解【解答】解：，=62x=0，解得x=4实数x的值为4故答案为：4【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用14. 1 略15.a【考点】平面与平面平行的性质；棱柱的结构特征【专题】计算题【分析】由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度【解答】解：平面ABCD平面A1B1C1D1，MN平面A1B1C1D1MN平面ABCD，又PQ=面PMN平面ABCD，MNPQM、N分别是A1B1、B1C1的中点MNA1C1AC，PQAC，又AP=，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，CQ=，从而DP=DQ=，PQ=a故答案为： a【点评】本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明16.【考点】与二面角有关的立体几何综合题【专题】综合题；压轴题；空间位置关系与距离【分析】取BD的中点O，连接AO，EO，CO，由题设知AOE=15，EOC=30，由此利用正弦定理能求出【解答】解：取BD的中点O，连接AO，EO，CO，菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C，E点在线段AC上，COBD，AOBD，OC=OA，BD平面AOC，EOBD，二面角ABDE与二面角EBDC的大小分别为15和30，AOE=15，EOC=30，OC=OA，OCE=OAE，由正弦定理得，=故答案为：【点评】本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的元素关系不变，位于折线两侧的元素关系会发生变化17.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）由已知得ACPD，ACBD，由此能证明平面EAC平面PBD（）由已知得PDOE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥PEAD的体积【解答】（）证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD四边形ABCD是菱形，ACBD，又PDBD=D，AC平面PBD而AC平面EAC，平面EAC平面PBD（）解：PD平面EAC，平面EAC平面PBD=OE，PDOE，O是BD中点，E是PB中点取AD中点H，连结BH，四边形ABCD是菱形，BAD=60，BHAD，又BHPD，ADPD=D，BD平面PAD，=【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18.【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角【分析】（I）以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，可得和的坐标，可得cos，可得答案；（II）由（I）知， =（2，0，4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为，则sin=|cos，|=，进而可得答案【解答】解：（I）以，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），=（2，0，4），=（0，2，4），cos，=异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知， =（2，0，4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为，则sin=|cos，|=直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：19.【分析】（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SAAB，易证BCSA，由根据直线与平面垂直的判定定理可得SA平面ABCD；（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EOSA，所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，EHO为二面角EACD的平面角，在RtAHO中求解即可（法二：空间向量法）（1）同法一（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可【解答】解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BAPD，ABCD为正方形，所以在翻折后的图中，SAAB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为SBBC，ABBC，SBAB=B所以BC平面SAB，又SA平面SAB，所以BCSA，又SAAB，BCAB=B所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO因为，所以EOSA因为SA平面ABCD，所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，则AC平面EOH，所以ACEH所以EHO为二面角EACD的平面角，在RtAHO中，即二面角EACD的正切值为解法二：（1）同方法一（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0， 0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）平面ACD的法向为设平面EAC的法向量为=（x，y，z），由，所以，可取所以=（2，2，1）所以所以即二面角EACD的正切值为20.【考点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【分析】（1）取DE中点N，连结MN，AN，则由中位线定理可得BMAN，从而BM平面ADEF；（2）建立空间坐标系，求出平面ABF和平面BDM的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系列方程解出【解答】证明：（1）取DE中点N，连结MN，AN，当=时，M为EC中点，又N是DE中点，MNCD，MN=ABCD，AB=，ABMN，AB=MN四边形ABMN是平行四边形，BMAN，AN平面ADEF，BM平面ADEF，BM平面ADEF（2）以D为坐标原点建立空间坐标系如图：则为平面ABF的一个法向量， =（0，4，22）设=（x，y，z）为平面BDM的一个法向量，则，令z=1，得=（，1）cos=解得（舍）或=21.（）证明：见解析；（） .（）证明：平面ABCD，平面ABCD，.1分，.2分又，面，面.3分平面，.4分平面，平面平面 .5分 （）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则C（0，0，0），（1，1，0），（1，1，0）设（0，0，）（），则（， ）， ，.6分取=（1，1，0） 则，为面的法向量设为面的法向量，则，即，取，则，. 8分依题意，则 .9分于是.10分设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为 .12分22.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CEDF，即可证明CE平面ADP；（2）证明CE平面PAB，利用CNDF，可得DF平面PAB，即可证明平面PAD平面PAB；（3）存在，取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ平面ABCD，即可得出结论【解答】（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EFEF为PAB的中位线，EFAB，且CDAB，且，EFCD，且EF=CD，四边形EFDC为平行四边形，CEDFDF平面ADP，CE平面ADP，CE平面ADP（2）证明：由（1）可得CEDFPC=BC，E为PB的中点，CEPBABBC，平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCD=BC，AB平面ABCDAB平面PBC 又CE平面PBC，ABCE又CEPB，ABPB=B，AB，PB平面PBC，CE平面PABCNDF，DF平面PAB 又DF平面PAD，平面PAD平面PAB；（3）解：存在，证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由平几得，OPO为等腰PBC底边上的中点，POBC，PBC底面ABCD，PO平面PBC，平面PBC平面ABCD=BC，PO平面ABCD，NQ平面ABCD，NQ平面DMN，平面DMN平面ABC【点评】本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题