2019-2020年高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教B版必修.doc

2019-2020年高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教B版必修一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是(D) A10 n mileB10 n mileC5 n mileD5 n mile解析如图，由正弦定理，得，BC5.2某人向正东方向走x km后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(C)AB2C2或D3解析由题意画出三角形如图则ABC30，由余弦定理，得cos30，x2或.3两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为(B)Aa kmBa kmCa kmD2a km解析ACB120，ACBCa，由余弦定理可得ABa(km)4有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延伸(C)A5 mB10 mC10 mD10 m解析如图，在ABC中，由正弦定理，得，x10 m.5江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距(D)A10 mB100 mC20 mD30 m解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知BAD45，CAD60，BDC30，AD30.分别在RtADB、RtADC中，求得BD30，DC30.在DBC中，由余弦定理，得BC2DB2DC22DBDCcos30，解得BC30.6海上的A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B岛与C岛之间的距离是(D)A10 n mileBn mileC5 n mileD5 n mile解析在ABC中，C180607545，由正弦定理，得，解得BC5 n mile.二、填空题7两船同时从A港出发，甲船以每小时20 n mile的速度向北偏东80的方向航行，乙船以每小时12 n mile的速度向北偏西40方向航行，一小时后，两船相距28n mile. 解析如图，ABC中，AB20，AC12，CAB4080120，由余弦定理，得BC220212222012cos120784，BC28(n mile)8湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15方向，汽车向南行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75方向，则小岛到公路的距离是 km.解析如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理，得BC(km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin75(km)三、解答题9如图，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 n mile，问乙船每小时航行多少n mile？解析解法一：如图，连接A1B2，由已知，A2B210，A1A23010，A1A2A2B2，又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，由A1B2B1中，由余弦定理，得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos45202(10)222010200.B1B210.乙船的速度的大小为6030n mile/h.答：乙船每小时航行30 n mile.解法二：如图，连接A2B1.由已知，A1B120，A1A23010，B1A1A2105，cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60.sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60.在A2A1B1中，由余弦定理，得A2BA1BA1A2A1B1A1A2cos105(10)220221020100(42)A2B110(1)由正弦定理，得sinA1A2B1sinB1A1A2，A1A2B145，即B1A2B2604515，cos15sin105.在B1A2B2中，由已知，A2B210，由余弦定理，得B1BA2BA2B2A2B1A2B2cos15102(1)2(10)2210(1)10200.B1B210，乙船速度的大小为6030 n mile/h，答：乙船每小时航行30 n mile.能 力 提 升一、选择题1如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B)A20() n mile/hB20() n mile/hC20() n mile/hD20() n mile/h解析由题意可知NMS45，MNS105，则MSN1801054530.而MS20，在MNS中，由正弦定理，得，MN10()货轮的速度为10()20()n mile/h.2如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40的方向直线航行，30 min后到达B处C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是(A)A10 n mileB10 n mileC20 n mileD20 n mile解析由题目条件，知AB20 n mile，CAB30，ABC105，所以ACB45.由正弦定理，得，所以BC10 n mile，故选A二、填空题3甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北航行，AB10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 min.解析如图，当两船航行t h时，甲船到D处，乙船到C处，则AD104t，AC6t，CAD120，若AD4t10，AC6t，CAD60，所以CD2(6t)2(104t)226t(104t)()28t220t100，当t h时，CD2最小，即两船最近，th min.4一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是5.2 km.(精确到0.1 km)解析作出示意图如图由题意知，则AB246，ASB35，由正弦定理，得，可得BS5.2 km.三、解答题5碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 n mile的B处现在“白云号”以每小时10 n mile的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile的速度由A处向南偏西60方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.解析如右图，设经过t h，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD则根据题意，知在ACD中，AC8t，AD2010t，CAD60.由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcos60(8t)2(2010t)228t(2010t)cos60244t2560t400244(t)2400244()2，当t时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近答：经过 h后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近6已知海岛B在海岛A的北偏东45方向上，A、B相距10 n mile，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15方向也以2 n mile/ h的速度移动.(1)经过1 h后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由解析(1)经过1 h后，甲船到达M点，乙船到达N点，AM1028，AN2，MAN60，所以MN2AM2AN22AMANcos6064428252.所以MN2.所以经过1 h后，甲、乙两小船相距2 n mile.(2)设经过t(0t5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A距离为AE(102t)n mile，乙船与A距离为AF2t n mile，EAF60，EFA75，则由正弦定理，得，即，则t5.答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向7.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一从A沿直线步行到C，另一种是从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C、假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos AsinC.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500 (m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550 m，还需走710 m才能到达C设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内