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2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）理科数学试卷第卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知全集 2、若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则 3、执行下面的程序框图，那么输出的等于 42 5672 904、设，则 5、已知（）的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为36 45 55 1206、已知为等差数列且公差，其首项，且成等比数列，为的前项和，则的值为() 7、某抛物线的通径与圆的半径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为 2 4 6 88、某数学教师一个上午有3个班级课，每班一节。如果上午只能排4节课，并且不能连上3节课，则这位教师上午的课表有（ ）种可能的排法6 8 12 169、函数的一个最高点坐标为（2,2），相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2，则= 1 -1 10、偶函数在上单调递减，则的大小关系是 不能确定11、为双曲线的右焦点，点在双曲线右支上，（）满足，则双曲线的离心率为 2 12. 定义在R上的函数，时，令，,则 函 数的零点个数为6 7 8 9二填空题：本大题共4小题，每小题5分13、边长为2的正方形，对角线的交点为，则= . 14如右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为 . 15、甲乙两位同学约定早上7点至12点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去。设两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，则二人能会面的概率为 .16、棱长为1的正方体中，点分别为的中点，给出下列结论： 直线与平面所成角的正弦值为 四面体的体积为则正确结论的序号为 .17. （本小题满分12分）已知，的三边对应的角分别为，其中. (1) 求角的大小； （2）当时，求面积的最大值.18. （本小题满分12分） 全国学生的体质健康调研最新数据表明，我国小学生近视眼发病率为22.78，初中生为55.22，高中生为70.34.。影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素。主要原因是环境因素，学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间安排很容易引起近视。除了学习，学生平时日常爱看电视、上网、玩电子游戏，不喜欢参加户外体育活动都是造成近视情况日益严重的原因。为了解情况现从哈市某中学随机抽取18名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：(1) 求这18名学生视力的平均数（精确到0.1）和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“正常视力”，求校医从这18人中随机选取3人，至多有1人是“正常视力”的概率；PABCD以这18人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“正常视力”学生的人数，求的分布列及数学期望19. （本小题满分12分）如图：四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，且.(1) 求证：； （2）若二面角的大小为，求的值 . 20. （本小题满分12分）已知椭圆，过点斜率为的直线交椭圆于点.直线交椭圆于另一点.（1）当时是否存在使得?（2）若，求的面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数. （1）当时，求实数的取值范围； （2）证明：（）.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）如图，是的高，是的外接圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点.（1） 求证： ；（2） 若，求的外接圆的半径.23. （本小题满分10分）直角坐标系中曲线的参数方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）经过点作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率.24. （本小题满分10分）已知且.(1)求的最大值；（2）求证：.2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）理科数学答案123456789101112BAC B ADA C DACC 13、 614、15、16、 17.（1）（1分） ，（3分）又（4分），（5分）（6分）（2） （8分） 又（当且仅当时取等号）（9分）面积（10分） 所以面积的最大值为（12分）18.（1）由茎叶图这18名学生视力的平均数为；（2分）中位数为4.65（4分） （2）“正常视力”人数为4人，设事件A为至多1人是“正常视力”，则P(A)=,故在18人中随机抽3人， 至多1人为“正常视力”的概率为.（6分）由题可知，故，（8分）的分布列为：0123P（10分）（12分） 19.（1），=， 且， 所以 ， （2分）（4分）来源:Z#xx#k.Com（2）取的中点为，连接，=，且，所以（6分）以为原点，射线方向为轴，射线方向为轴，平行于的方向为轴建立空间坐标系，设的法向量为（7分）的法向量为（8分） （10分）（11分）（12分）20.(1)设直线的方程为，代入椭圆方程得将代入得（1分）则的中点坐标为（2分），（3分）（4分）解得（5分）所以存在使得（6分）（2）由（1）得，（7分）的面积（8分） 令， 当时，在1,2上单调递减，所以当 时的面积的最大值为（10分）当时在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的面积的最大值为（12分）21. （1）解：，（1分）依题知，故，则。（2分）令，此时，故，而，所以符合题意。（4分），而对称轴，故在单调递增且，则，故，而，所以符合题意。（6分）综上，。（7分）（2）证明：由（1）知，当时，即。（8分）令，则，（10分）裂项累加 所以。（12分）22. （1）是直径，（1分） 又（2分） （4分）（2） ，（5分） （7分） （8分），（9分）由（1）得所以的外接圆的半径为（10分）23.（1）由 曲线的参数方程为，得（2分） 所以曲线的直角坐标方程为（4分） （2）设直线的倾斜角为直线的参数方程为，（5分）代入曲线的直角坐标方程得 （6分） （7分） 由题意可知，（8分） 代入上式得 即（9分） 所以直线的斜率为（10分） 24.（1）由题意可知，（1分）即（2分）（当且仅当）的最大值为（4分）(2) 要证：即证：（5分）由于则即证：（7分）已知，则即证：（9分）由（1）知成立，所以原不等式成立（10分）
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