2019-2020年高三第七次模拟考试（理）数学试题 含答案.doc

2019-2020年高三第七次模拟考试（理）数学试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2.已知为虚数单位，则的值为（ ）A B C D3.从某校高三的名学生中用随机抽样得到其中人的身高数据（单位：，所得数据均在上），并制成频率分布直方图（如下图所示），由该图可估计该校高三学生中身高不低于的人数约为（ ）A B C D4.已知公比为的等比数列，且满足条件，则（ ）A B C或 D5.设则的值为（ ）A B C D6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D7.已知直线平分圆的周长，则直线同圆的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不能确定8.如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）A B C D9.将棱长为的正四面体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积是（ ）A B C D10.如图所示的阴影部分是由底边长为，高为的等腰三角形及宽为，长分别为和的两矩形所构成.设函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为（ ）12.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）A BC D.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若向量与垂直，则_.14.设变量满足约束条件则的取值范围是_.15.的展开式中含的项的系数是_.16.已知数列，且，记，则数列的前项和为_.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.（1） 求角；（2） 若，且，求边.18.（本小题满分12分）某航空公司在年年初招收了名空乘人员（服务员与空警），其中“男性空乘人员”名，“女性空乘人员”名，并对他们的身高进行了测量，其身高（单位：）的茎叶图如图所示.公司决定：身高在以上（包含）的进入“国际航班”做空乘人员，身高在以下的进入“国内航班”做空乘人员.（1） 求“女性空乘人员”身高的中位数和“男性空乘人员”身高的方差（方差精确到）；（2） 从“男性空乘人员”中任选人，“女性空乘人员”中任选人，所选人中能飞“国际航班”的人数记为，求的分布列和期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，且，.和分别是棱和的中点.（1） 求证：；（2） 求直线与平面所成的角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知，且的周长等于.（1） 求动点的轨迹的方程；（2） 已知点分别为动直线与轨迹的两个交点，问在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（1） 当时，求函数的单调区间；（2） 当时，设，求证：对任意，均存在，使得成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的直径，为圆上的点，是的角平分线，与圆切于点，且交的延长线于点，垂足为点.（1） 求证：；（2） 若圆的半径为，试求线段的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，为常数).（1） 求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2） 若直线分圆所得的两弧长度之比为，求实数的值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）解不等式：；（2）记（1）中不等式的解集为，当时，证明：.理科数学参考答案一、选择题1.B 【解析】由已知得，集合，故.故选B.2.C 【解析】因为，故选C.3.A 【解析】根据频率分布直方图，得学生的身高位于区间上的频率为，所以对应的人数为.故选A.4.B 【解析】由已知得解得或又公比绝对值大于，故只能取所以，所以.故选B.5.C 【解析】.故选C.6.C 【解析】该几何体是一个底面半径为，高为的圆柱与一个三棱锥的组合体，故其体积.故选C.8.C 【解析】所以.故选C.9.A 【解析】显然体积最大的球为该正四面体的内切球，设该内切球半径为，设正四面体的底面积为，高为，由等体积法，得，得，所以.故选A.10.A 【解析】可求得根据函数解析式可知，在区间上，为开口向上的抛物线的一部分（图象下凹），排除C，D.在区间上面积的增长速度恒定，在区间上面积的增长速度恒定，其图象均为线段，在区间，上直线的斜率分别为，即在区间上面积的增长速度大于在区间上面积的增长速度.故选A .11.D 【解析】要使，只需满足为锐角，只需满足.在中，即，两边同除以，又，所以离心率的取值范围是.故选D.12. C 【解析】因为，又，所以，所以函数是区间上的增函数.由不等式，得，所以，又由，得，即.故选C.二、填空题13. 【解析】由与垂直，得，解得，.14. 【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示.由图可知，当直线分别过点时取得最大值和最小值.又，所以，.即的取值范围是.15. 【解析】中，展开式中的最高次幂为，故的展开式中项为，故的展开式中含的项的系数是.16. 【解析】由，得，所以是等差数列，又，所以，所以，则.故.17. 解：（1）根据正弦定理，得，（2分）又，.（4分），.（5分）由，知.（6分）（2） 由余弦定理，得，即.又，由正弦定理，得.（8分）联立方程解得（12分）18. 解：（1）由题意知，“女性空乘人员”身高的中位数为，“男性空乘人员”身高的平均数为，（3分）所以“男性空乘人员”身高的方差为.（5分）（2） 取值为.（6分）；.（10分）所以的分布列为所以.（12分）19. 解：（1）为中点，.又，四边形为平行四边形.又，四边形为矩形，.又，平面.又，平面.平面，.又，.又平面.又平面，.（5分）（2） 设直线与平面所成的角为.由（1），知平面，以为原点，为轴，为轴，平面内的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.，又，.点到轴的距离为.，同时知，.又，.，.（8分）设平面的一个法向量为，则即令，则.（10分）又，.即直线与平面所成的角的正弦值为. （12分）20.解：（1）由的周长等于.得，即.由椭圆的定义知，点的轨迹是椭圆. （3分）且，故.所以动点的轨迹方程是. （5分）（2） 由，得.设，由，得且，所以.（7分）根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有.（10分）要使上式为定值，即与无关，即，即，即.此时为定值，定点为. （12分）21. 解：（1），（2分）所以，其单调递增区间为，单调递减区间为.（4分）（2） 若要命题成立，只需当时，.由可知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，所以只需.（6分）对函数来说，.当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，.当时，显然小于，满足题意；当时，可令，可知该函数在时单调递减，满足题意，所以满足题意.（12分）22. 解：（1）连接，.又，. （3分）是圆的切线，.，.又，.，.是圆的切线，由切割线定理，得.（5分）在中，由射影定理，得.（6分），.（7分）（2） 在中，.于是.（10分）23. 解：（1）由，得，即，化简得.故圆的直角坐标方程是.（2分）对消去参数，得，即，化简得.故直线的普通方程是. （5分）（2） 圆化为标准方程为，（6分）若直线分圆所得的两弧长度之比为，则分得的劣弧与优弧所对的圆心角分别为，.因为圆的半径为，所以圆心到直线的距离为. （8分）故由点到直线的距离公式，得，解得或. （10分）24.解：（1）两边平方得，整理得，解得.所以原不等式的解集为. （4分）（2） 由（1）可得，当时，则，.即，所以，. （6分）所以.即.（8分）也就是，所以，即，即.（10分）