资源描述
分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习,1、标准的Fourier级数展开定理和公式,三角函数系：,同理,同理,定理：,若在整个数轴上,且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：,设f(x)是以2l为周期的函数，通过变量代换,设f是以2l为周期的偶函数，或是定义在-l,l上的偶函数， 则在-l,l上，,偶函数,奇函数,设f是以2l为周期的奇函数，或是定义在-l,l上的奇函数， 则在-l,l上，,奇函数,偶函数,定义,向量范数公理,即,3、完备的正交函数系,4、函数展成用正交函数系表示的级数的系数的 计算方法,即,5、目前所涉及到常用的正交函数系及计算 方法举例,结论：本章所涉及到的特征函数系都是完备的正交 函数系。,例1：,1）直接利用正弦级数展开公式，但是这里要注意的是， 直接利用公式，需要将 进行奇延拓。,2）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后， 两边积分同时在0,l上积分的方法。,即利用公式：,同理：,例2,1)这个函数系不是我们在数学分析或高等数学中见到的 标准的三角函数系。但是也有同样的Fourier级数的系 数公式,2）利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后， 两边积分同时在0,l上积分的方法。,例3,同理，有,6、第五节第二个例题的详细计算过程,例2 解下列定解问题：,解:,首先，将边界条件化成齐次的，为此令,（2.75）,代入原定解问题得到,显然这个定解问题可分为如下两个定解问题：,（）,和,（）,对于问题（），可以直接用分离变量法求解，求解步 骤与2.2中的问题（2.132.15）相同，所不同的只是 通过分离变量得到常微分方程较（2.16）稍有不同。,令,代入（2.76）,得,由此得到两个常微分方程,（2.82）,（2.83）,由条件（2.77）,得,（2.84）,（2.83）,（2.84）,时，,时，,时，,（2.82）,（2.83）,（2.82）,得,它的通解为,从而问题（）的解可表示为,确定为,（2.86）,（）,由,得,（2.87）,令,（2.88）,比较两端系数，加上边界条件，得,（2.88）,从而问题（）得解为,（2.89）,
展开阅读全文