2019年1月丰台区高三数学理上册期末试卷

2019年1月丰台区高三数学理上册期末试卷 丰台区20182019学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2019.01第一部分 （选择题共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合 ， ，那么（A）（B）（C）（D）2若复数 的实部与虚部互为相反数，则实数（A）3 （B）（C）（D）3执行如图所示的程序框图，输出的 的值为（A）（B）（C）（D）4已知等差数列 中， ， .若 ，则数列 的前5项和等于（A）30 （B）45 （C）90 （D）186 5某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A）2 （B） 6设 ， 是非零向量，则“ ”是“ ”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7一种画双曲线的工具如图所示，长杆 通过 处的铰链与固定好的短杆 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点 ，另一端固定在点 ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆 ，拉紧绳子，移动笔尖 （长杆 绕 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若 ， ，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）8如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点，若直线与平面 不存在公共点，则三角形 的面积的最小值为（A）（B）1（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9在极坐标系中，圆C： 的圆心到点 的距离为_10 展开式中 的系数为_11能够说明“设 是任意非零实数若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次为_12若 满足 则 的最大值为_13动点 在圆 上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间 时，点 的坐标是 ，则当 时，动点 的纵坐标 关于 （单位：秒）的函数的值域为_14已知函数 若 ，则函数 的零点有_个； 若存在实数 ，使得函数 总有三个不同的零点，则实数 的取值范围是_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15（本小题13分）在 中，角 的对边分别为 ， ， ， .（）求 的值；（）求 的面积.16（本小题14分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面 ， 为棱 的中点， （）求证： ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）求二面角 的余弦值17（本小题13分）2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：展区类型 智能及高端装备 消费电子及家电 汽车 服装服饰及日用消费品 食品及农产品 医疗器械及医药保健 服务贸易展区的企业数(家) 400 60 70 650 1670 300 450备受关注百分比 25 20 10 23 18 8 24备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值（）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.（i）记 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量 的分布列；（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10.记 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量 的均值 和 的大小.（只需写出结论）18（本小题14分）已知椭圆C: 的右焦点为 ，离心率为 ，直线 与椭圆C交于不同两点 ，直线 分别交 轴于 两点.（）求椭圆C的方程；（）求证： .19（本小题13分）设函数 （）当 时，求证： ；（）如果 恒成立，求实数 的最小值20（本小题13分）将 阶数阵 记作 （其中，当且仅当 时， ）.如果对于任意的 ，当 时，都有 ，那么称数阵 具有性质 .（）写出一个具有性质 的数阵 ，满足以下三个条件： ，数列 是公差为2的等差数列，数列 是公比为 的等比数列；（）将一个具有性质A的数阵 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的 阶数阵，记作数阵 .试判断数阵 是否具有性质A，并说明理由.丰台区20182019学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考 201901一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D B C D A D C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9 10 11 满足 且 即可121 13 142； 且三、解答题（共6小题，共80分）15.（共13分）解：（）在 中，因为 ， ， ，由余弦定理 ， .2分可得 ， .4分所以 ，或 （舍） .6分 （）因为 ，所以 .所以 的面积 . .13分 16.（共14分）解：（）因为 底面 ， 底面 ，所以 ，正方形 中 ，又因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .4分（）正方形 中 ，侧棱 底面 .如图建立空间直角坐标系 ，不妨设 .依题意，则 ，所以 .设平面 的法向量 ，因为 ，所以 .令 ，得 ，即 ，所以 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ； 11分（）由（）知 平面 ，所以 为平面 的法向量，因为 ， 且二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 14分17（共13分）解：（）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共 家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A,所以 . 4分（）消费电子及家电备受关注的企业有 家，医疗器械及医药保健备受关注的企业有 家，共36家.的可能取值为0，1，2.所以随机变量 的分布列为： 0 1 211分（） 13分 18.（共14分）解：（）由题意得 解得 所以椭圆C的方程为 5分（）设 .由 得 依题意 ，即 .则 8分因为 .所以直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补，即 .因为 ，所以 . 14分19（共13分）解：（）因为 ，所以 . 当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递增，所以 . . . .5分（）因为 ，所以 .当 时，由（）知， 对 恒成立；当 时，因为 ，所以 .因此 在区间 上单调递增，所以 对 恒成立；当 时，令 ，则 ，因为 ，所以 恒成立，因此 在区间 上单调递增，且 ，所以存在唯一 使得 ，即 .所以任意 时， ，所以 在 上单调递减.所以 ，不合题意. . . .12分综上可知， 的最小值为1. . . .13分20（共13分）解：（） （答案不唯一）. . . .4分（）数阵 具有性质A.只需证明，对于任意的 ，都有 ，其中 .下面用反证明法证明：假设存在 ，则 都大于 ，即在第 列中，至少有 个数大于 ，且 .根据题意，对于每一个 ，都至少存在一个 ，使得 ，即在第 列中，至少有 个数小于 .所以，第 列中至少有 个数，这与第 列中只有 个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵 具有性质A. . . .13分