《采样数据的处理》PPT课件.ppt

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1,第12章 采样数据的处理,12.1 引言,本章主要介绍: 1)采样在何种程度上造成信息丢失,其本质为何? 2)对连续函数采样后,能否被完全恢复,怎样做? 3)为保存图像信息,需如何细微地对函数采样? 4)采样对函数的频谱有何影响? 5)采样后的函数如何假设、近似为连续函数?,2,12.2.1 Shah函数(无限冲激序列),12.2 采样和插值,定义III(x): 为沿x轴相隔单位间距出现的单位冲激序列。,III(x)的傅立叶变换为其自身:,3,12.2.1.1 相似性,根据相似定理: 且,因此III(x)的频谱为沿s轴间隔为1/的冲激序列。,4,设f(x)带宽为s0(当频率s超过s0时, f(x)便为0),即F(s)=0,当|s| s0时。,12.2.2 使用Shah函数采样,以等间隔 对f(x)采样,则仅在x=n 处取得f(x)的样本值,在其他地方, f(x)被破坏了,这个过程相当于用III(x/ )乘以f(x) ,得到g(x) 。,5,12.2.3 采样及其频谱,6,12.2.4 采样定理,由上可见,只要从G(s)中得到F(s),即可从g(x)中获得f(x)。 方法:保留中心处于原点的F(s) ,消除其复制品,即用矩形(s/2s1)去乘G(s) 。其中,可见,用采样后的函数与一个形式为 的内插函数做卷积,即可从g(x)重构f(x)。,7,上述推导的两个限制: 1) f(x)的谱s0。 2),8,12.2.5 内插,g(x)与内插函数卷积,等于在每个采样点上复制一个窄的sinc(x)函数,而互相重叠的sinc(x)函数的总和可准确地恢复出原函数。,9,12.2.6 欠采样与混叠(Aliasing),当采样间隔不够密,即 时,F(s)的复制品就会部分地重叠,此时就不能准确地恢复出原函数了。因为此时,频率s1以上的能量被折叠返回到s1以下,并被加到频谱上,称为混叠。f(x)和内插所得的函数的差别称为混叠误差。 当f(x)是偶函数时, F(s)也是偶函数,混叠的效果是提高了频谱中的能量;奇函数与之相反;非奇非偶函数及谱则因此比实际更趋向于偶函数。,10,12.2.7 采样举例,函数: 频谱: 以等间隔t对f(t)采样。 f(t)的周期是1/f0。,过采样: 临界采样: 欠采样: 严重欠采样: 对正弦信号的临界采样:,11,1、过采样:,12,2、临界采样:,13,3、欠采样:,变成低频了,14,4、严重欠采样:,变成直流了,零频!,15,5、另一种情况:,相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在s=fN处重叠并抵消。结果内插后的函数为0。它其实相当于在正弦函数的过零点进行了采样,每次采到的都是0。,16,12.2.7.1 图像数字化中的混叠 聚焦可有效保留信号的高频成分,而散焦则相当于信号的高频成分减少,带宽变窄,因而图像变得模糊些,但不再混叠了。,结论:空间采样点太稀疏,虽然像素很细小,但只能当粗点用,否则会出现高频混叠。,17,18,12.3.1 时域中的截取,12.3 频谱计算,对离散的f(t)样值计算F(s),N个时域采样点将对应N个频谱上的点。通常频域上的点在s轴上等距分布。,假定一个信号f(t)用间距为t的N个采样点来代表,则总的采样区间宽度TNt。(T为截取窗口的宽度,T外部的信号的采样被忽略了,相当于将截取窗口外的信号置0了),19,12.3.2 频域上的截取,离散f(t)的频谱是周期的,周期2sm=1/t ,只需计算覆盖F(s)的一个周期即可。 常用的方法是将N个采样点均匀地散布在中心位于原点的F(s)的一个周期上,即,当在F(s)的一个周期上取N个等间隔的采样点,则Ns 1/t 。其中s 1/Nt1/T是频域中的采样间隔。因此计算f(t)频谱的最好做法是按s 1/T等间隔取,即从-sm到sm 。 Sm= 1/2t,20,12.3.3 频谱计算,由上可见,一个域中的采样间隔决定了另一个域中的截取窗口宽度。要计算频谱中的高频成分(sm ),必须在时域中细密地采样( t )。而要频谱中的高分辨率( s ),必须在时域中采用大的截取窗口(T )。,21,采样和截取参数小结,当f(t)是复数,有N个实部和N个虚部,变换后产生频谱中的N个实值和N个虚值。 当f(t)是实数,有N个实部和N个0(虚部),变换后在频谱的右半部产生N/2个偶实值和N/2个奇虚值。由于实函数的F(s)是Hermite型的,频谱的左半部是右半部的镜像。,22,12.4.1 混叠的不可避免性,12.4 混叠,根据采样定理,对带宽有限的函数采样时,只要选择合适的采样间距就可完全避免混叠。 但是,如果带宽有限的函数被截取了一段有限长度T,这个过程即模型化为将函数与宽度为T的矩形脉冲相乘,等价于将其频谱与无限持续的sinc(x)函数在频域卷积。 两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄,因此,经截取的函数的谱在频域内无限延伸。 截取破坏了带宽的有限性,注定了数字处理在任何情况下都造成混叠。因而我们只能限定其误差。,23,12.4.2 混叠误差的上界,因为t有限,不能无限小,因此F(s)被无限展宽。 F(s)在形式为1/s的包络线内,保证了函数的峰值随着频率升高而下降并趋于0。,24,如果忽略函数的正弦波动,仅考虑F(s)的包络线,并注意可能混叠的最大频谱强度在频率sm处出现,则可以认为这是混叠的最坏情况。 定义混叠误差 F(sm)/F(0),由于F(0)1, F(s)的包络为1/2as,因而混叠上界为,混叠误差的上界与t成正比,与T无关。因此,当t 2a脉冲宽度时,混叠误差即可小到所需的程度。,25,12.4.3 频谱分辨率,F(s)具有频率为a的正弦波动(周期为1/a)。用M表示在所计算的频谱F(s)上每个周期的采样点数,并用它作为频谱分辨率的量度,则,这就是说,如果使采样周期T与脉冲的半宽度a相比足够大,即可在F(s)的一个周期中取得足够多的采样点。,26,12.5.1 计算一个边缘的频谱,12.5 截取,用宽度为T的截取窗口对f(x)截取,截取会使计算得到的谱与实际的谱不同。需认真选择截取窗口的宽度。,27,对g(x)进行FT:,G(s)与F(s)不一样了,仅在几个点处两者值相等,也就是cos(sT)=0时。或者sT =i /2时(i为奇数)。对应s=i/2T。此时G(s)F(s)。,28,29,12.5.2 截取效应,上例i奇数时是正确的(是正常大小的两倍),而偶数时为0。这表明截取在奇数号点和偶数号点之间重新分配了能量。 将G(is)即G(si)与一个窄的三角形局部平均滤波器1/4,1/2,1/4相卷积,可获得期望结果。,30,12.6 数字处理,以下考虑对连续信号(见下图)或图像进行截取、采样、内插等进行数字处理后的影响。,31,12.6.1 截取,32,12.6.2 采样孔径,在采样点上有一有限宽度的采样孔径,信号在该孔径中被平均。,采样孔径是宽度为的窄矩形脉冲,则截取后的信号再与采样孔径函数卷积,相当于将其谱与sinc(s)相乘。 如果采样窗口是高斯脉冲,则输出谱将与高斯谱相乘。 上述采样孔的作用是降低了信号中的高频能量,频率超过s=1/时能量极性反转。,33,12.6.3 采样,上述经采样孔径平滑后的截取后的信号再与III(t/t) 相乘,得到采样结果。于是采样后的谱有了周期性(以1/t 复制原来的谱)。,34,12.6.4 内插,对采样后的信号插值,以尽可能好地恢复f(t) 。,用三角脉冲与采样后的函数卷积来实现插值。,由于sinc(st0)2随频率增加而减小,使得除了位于s=0处的主复制品外,其余所有复制品趋向于0。,35,用h(t)表示对采样后函数进行内插得到的结果函数:,36,12.6.5 数字处理的影响,数字处理对信号的影响是显然的,那么,究竟有多大? 采样孔径与内插函数之间一般都有适当的关系,如采样孔径宽度与采样间距t 相等。对于线性插值,t0=t 。 若截取窗口宽,则其频谱窄,接近于一个脉冲,其影响就会减小。如果截取窗口外的原函数值已经为0,截取就不会产生影响了。 采样孔径相当于低通滤波,降低的频谱中的高频能量,因而减少了混叠。如果采样孔径的传递函数有负值,会改变高频能量的极性。 用sinc(x)函数进行内插最理想。其它内插函数不能完全消除其余复制品,且还会减少主复制品的高频能量。 数字化参数取决于数字化设备的设计。截取窗口代表图像数字化器的最大视野。采样孔径是扫描点的灵敏度,采样间距可调节,并与采样点直径相联系。对于显示图像,其内插函数就是显示点本身。,37,12.7 混叠误差的控制,用采样孔径和采样间隔来控制。,12.7.1 抗混叠滤波器,孔径宽度是采样间距的两倍,使其传递函数的第一个过0点位于fN=1/2t。则fN以上的频率被大大削减。,38,三角孔径宽度为4个样点宽,其传递函数的第一个过0点也位于fN=1/2t。相对于矩形脉冲的谱,三角脉冲的谱下降得更快,因此可更有效地减少混叠。与矩形脉冲同样的是,它也降低了F(s)中低于fN部分的能量。,39,12.7.2 过采样,用小的采样间隔使折返频率fN远远落在高边带。这样,即使混叠污染了频谱的高频部分,对我们感兴趣的数据也基本上无影响。 截取窗口足够大,对信号频谱造成的影响最小。,40,12.8 线性滤波的数字实现,可以在时(空)域或频域(变换域)来实现。,12.8.1 卷积滤波,对f(t)和h(t)采样使其频谱变成周期性的。若两个信号都以同样间距t 进行采样,它们的频谱将具有相同的周期1/t 。采样后信号的卷积,使频域中两个频谱相乘得到G(s),那么G(s)也是频率为t 的周期函数。当对g(t)内插时,它的频谱减为位于原点的一个复制品。 如果f(t)或h(t)带宽有限(假定在s=1/2t 以外截止) ,则g(t)的谱也带宽有限,通过内插可精确恢复。但是,截取破坏了频谱的有限性,使混叠不可避免,而数字化卷积不产生除采样、截取和内插产生的影响以外的新影响。,41,12.8.2 频域滤波,输入信号,输入信号的谱,采样后的信号,采样后信号的谱,相当于频域采样,因此Y(s)的反变换y(t)是连续的、无限持续的周期为T的函数。其主周期即f(t)。,42,复制频谱的重叠 使Y(s)和某个H(s)相乘可实现频域滤波。这相应于使y(t)与h(t)进行卷积。由于y(t)是周期性的,卷积会在t=T/2附近把相邻周期向主周期移动。 如果h(t)窄,且y(t)在t=T/2附近区域大致是常量,则相邻周期的重叠只有很不影响。如果x(t)在截取窗口两端不等,则y(t)在t=T/2处就不连续,再与h(t)做卷积就会因使不连续模糊化而在截取窗口两端留下痕迹。通常,频域滤波会在截取窗口(如一幅图像的边界)两端附近产生模糊效应。 在频域滤波方法中所遇到的在截取窗口两端的模糊效应,与时域中采样引起的混叠相对应。因此,当使用计算得到的频谱实现线性滤波时,必须定量分析截取的影响。,
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