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2019-2020年高中数学第一章集合与函数概念1.3习题课-函数的基本性质课后提升训练新人教A版一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx吉林高一检测)f(x)是定义在-6,6上的偶函数,且f(3)f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(0)f(2)C.f(-1)f(3)D.f(2)f(0)【解析】选C.因为函数为偶函数,所以f(-x)=f(x),即f(-1)=f(1)0时f(x)=x(1-x),当x0时,f(x)=()A.-x(x-1)B.-x(x+1)C.x(x-1)D.x(x+1)【解析】选D.当x0,所以f(-x)=-x(1+x),又f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=-x(1+x),所以f(x)=x(1+x).3.(xx北京高一检测)下列各函数为偶函数,且在0,+)上是减函数的是()A.f(x)=x+3B.f(x)=x2+xC.f(x)=x|x|D.f(x)=-|x|【解析】选D.A.f(x)=x+3的图象不关于y轴对称,不是偶函数,所以该选项不符合题意;B.x=-1时,f(x)=0,x=1时,f(x)=2,所以f(-1)f(1),该函数不是偶函数,所以该选项不符合题意;C.x=-1时,f(x)=-1,x=1时,f(x)=1,所以f(-1)f(1),该函数不是偶函数,所以该选项不符合题意;D.f(x)=-|x|的定义域为R,且f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),所以该函数为偶函数;x0时,f(x)=-|x|=-x为减函数,所以该选项符合题意.4.(xx大连高一检测)若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-,-1上是增函数,则()A.ff(-1)f(2)B.f(2)ff(-1)C.f(2)f(-1)fD.f(-1)ff(2)【解析】选B.因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(2)=f(-2),又因为f(x)在区间(-,-1上是增函数,-2-1,所以f(2)f0时,f(x)=2x2-x,则x0时,f(x)=-2x2-x.其中正确的说法的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,正确;其图象关于原点对称,且在对称区间上具有相同的单调性,最值相反,且互为相反数,所以正确,不正确;对于,x0,f(-x)=2(-x)2-(-x),又因为f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2x2-x,正确.7.(xx襄阳高一检测)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式是()A.f(x)=-x(x-2)B.f(x)=x(|x|-2)C.f(x)=|x|(x-2)D.f(x)=|x|(|x|-2)【解析】选B.设x0,因为当x0时,f(x)=x2-2x,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,又因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+2x,所以f(x)=-x2-2x,故在R上,f(x)的表达式是f(x)=x(|x|-2).8.(xx济宁高一检测)已知f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数,且它在定义域内单调递减,若a满足f(1-a)+f(2a-3)0,则a的取值范围是()A.B.C.(2,+)D.【解析】选B.因为函数f(x)为奇函数,且f(1-a)+f(2a-3)0,所以f(1-a)-f(2a-3)=f(3-2a).又因为f(x)为(-4,4)上的减函数,所以解得2a.所以a的取值范围是.二、填空题(每小题5分,共10分)9.定义在(-,+)上的函数y=f(x)在(-,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f的大小关系是_.(用“”连接)【解析】因为y=f(x+2)为偶函数,所以y=f(x)关于x=2对称.又因为y=f(x)在(-,2)上为增函数,所以y=f(x)在(2,+)上为减函数,而f(-1)=f(5),所以ff(-1)f(4).答案:ff(-1)f(4)10.(xx哈尔滨高一检测)已知函数f(x)是(-,0)(0,+)上的奇函数,且当x0时,函数的图象如图所示,则不等式xf(x)0的解集是_.【解析】因为f(x)是(-,0)(0,+)上的奇函数,且x0时的图象如图,结合图象可得不等式xf(x)0的解集是_.【解析】由f(x)是(-,0)(0,+)上的偶函数,且x0时的图象如图,结合图象可得不等式xf(x)0的解集为(-2,-1)(0,1)(2,+).答案:(-2,-1)(0,1)(2,+)三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2-4x+3.(1)求f(f(-1)的值.(2)求函数f(x)的解析式.【解析】(1)因为f(-1)=-f(1)=0,所以f(f(-1)=f(0).因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(f(-1)=0.(2)当x=0时,由奇函数的性质知f(0)=0,当x0,所以f(x)=-f(-x)=-=-x2-4x-3,综上所述,f(x)=12.定义在R上的函数f(x),对任意的实数x,y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)x2,x=x1-x20,当x0时,f(x)0.f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),故f(x)在R上是减函数.(3)由f(1)=-.所以f(2)=-,f(3)=-2,f(-3)=2,所以函数f(x)在-3,3上的值域为-2,2.【能力挑战题】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x+x2.(1)求x0时,f(x)的解析式.(2)问是否存在这样的非负数a,b,当xa,b时,f(x)的值域为4a-2,6b-6,若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设x0,于是f(-x)=-x+x2,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以x0时,f(x)=-f(-x)=x-x2,即x0时,f(x)的解析式为f(x)=x-x2.(2)假设存在这样的数a,b,因为a0,且f(x)=x+x2在x0时为增函数,所以xa,b时,f(x)f(a),f(b)=4a-2,6b-6,所以即或或或考虑到0ab,且4a-26b-6,可得符合条件的a,b值分别为或或
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