2019-2020年高三数学一轮总复习 专题十五 统计（含解析）.doc

2019-2020年高三数学一轮总复习 专题十五 统计（含解析）重点1 抽样方法1. 随机抽样的方法 (1)简单随机抽样的方法有：抽签法和随机数表法 抽签法的步骤：将总体中的个体随机编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上；将这些号签放在同一个容器里，均匀搅拌；每次从中抽取一个号签，连续抽取，获取样本号码.随机数表法的步骤：将总体中的个体随机编号；在随机数表中选择开始的数字；获取样本号码(2)系统抽样的步骤：将总体中的个体随机编号；将编号分段；在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；按照事先研究的规则抽取样本 (3)分层抽样的步骤：分层；按比例确定每层抽取个体的个数；各层抽样（方法可以不同）；汇合成样本2三种抽样方法的比较类别共同点特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体个数较少系统抽样将总体平均分成几部分，按预先制定的规则在各部分中抽取在起始部分取样时，采用简单随机抽样总体个数较多分层抽样将总体分成几层，按各层个体数之比抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成高考常考角度角度1一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为_.解析：设抽取男运动员人数为，则，解之得.或者: 角度2将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495住在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数一次为（ ）A26, 16, 8, B25，17，8 C25，16，9 D24，17，9解析：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人， 故选B。 重点2 用样本估计总体1频率分布图（表）、频率分布直方图和总体密度曲线的绘制与应用 (1)频数分布图（表）能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布直方图（表）则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布 (2)作频率分布直方图的步骤： 求极差，即一组数据中最大值和最小值的差决定组距与组数将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来这时应注意：a一般样本容量越大，所分组数越多；b为方便起见，组距的选择应力求“取整”；c当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成512组 将数据分组计算各小组的频率，作频率分布表（） 画频率分布直方图 (3)总体密度曲线是频率分布折线的一条极限曲线随着样本容量不断增加，分组不断加密，频率分布折线就会越来越光滑，最终形成总体密度曲线，总体密度，曲线反映的是总体在各个范围内取值的百分比实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但只能用样本的频率分布对它估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越准确 (4)几种表示频率分布的方法的优点和不足： 频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体趋势不太方便 频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到分布表中看不清楚的数据模式但是从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了 频率分布折线图的优点是反映了数据的变化趋势如果样本容量不断增大，分组的组距不断减小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线 2茎叶图的应用 (1)茎叶图：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此，通常把这样表示数据的图叫做茎叶图 (2)茎叶图的特征： 用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示， 茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据那么直观、清晰 茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况 (3)注意茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了 3用样本数字特征估计总体 (1)注意以下几点： 各数字特征的优缺点：众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体数字特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点，因为这些极端值有时是不能忽视的 由于平均数与每一个样本的数据都有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质也正是这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低， 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小 标准差、方差的取值范围为，标准差、方差为0时，样本中各数据全相等，表明数据没有波动，数据没有离散性 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差 (2)标准差和方差的关系及计算 标准差的平方就是方差，即 高考常考角度角度1 样本中共有5个个体，其值分别为.若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）A. B. C. D. 解析：由题意知，解得，故样本方差为,故选D.角度2某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_解析：该次数学考试中成绩小于60分的学生的频率是(0.002+0.006+0.012)*10=0.2故所求为0.2*3000=600角度3在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、 解析：45；46，本题主要考察了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力，属容易题。注意顺序.角度4为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则 () Amemo Bmemo Cmemo Dmome解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me5.5,5出现的次数最多，故mo5，5.97.于是得momek)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.832与的关系并不是是的观测值，或者说是一个随机变量，它在取不同的值时，可能不同，而是取定一组数后的个确定的值.典例2为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为（2）。由于9.9676.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. 12分规避2个易失分点易失分点1 统计图表中概念不清、识图不准典例 某公司（共有员工300人）xx年员工年薪情况的频率分布直方图如图所示，由此可知，员工中年薪在1.4万元1.6万页之间的共有_人.易失分提示: 解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的频率为，从而得到员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的共有人的错误结果解析：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的频率为所以员工中年薪在1.4万元1.6万元之问的共有人易失分点2 回归系数和回归常数相混淆典例 为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析：下面是该生7次考试的成绩数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议 易失分提示：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决本题容易出错的就是把回归系数和回归常数弄颠倒，导致解题错误解析：（1）， ，从而物理成绩更稳定.（2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到线性回归方程为当时，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.