2019-2020年高二数学上学期期末考试试题 理(I).doc

2019-2020年高二数学上学期期末考试试题 理(I)说明: 1时间：120分钟；分值：150分； 2. 本卷分、卷，请将答案填入答题卡 一、选择题：（每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意。）1给出下列命题： 若给定命题：，使得，则：均有； 若为假命题，则均为假命题； 命题“若，则”的否命题为“若 则， 其中正确的命题序号是（ ） . . . 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ ）. . . .3. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）4 4. 在中，“”是“”的（ ）必要不充分条件 充分不必要条件充要条件 既不充分也不必要条件5. 设双曲线的离心率为，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的方程为（ ）. . .6. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，为的准线上一点，则的面积为（ ） 7. 给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ）和 和 和 和8. 执行如图所示的程序框图,输出.那么判断框内应填（ ）. . . 9已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）. . . . 10.设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心且经过点的圆交于两点，若的面积为，则等于（ ） 11. 四棱锥中，底面为正方形，且平面，则直线与直线所成角的大小为（ ） 12. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（ ） 第卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分。把答案填在题中横线上。） 13. 某班级有名学生，现要采取系统抽样的方法在这名学生中抽出名学生，将这名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，第十组号，若在第三组中抽得号码为的学生，则在第八组中抽得号码为 的学生。14. 设满足则的最小值为 15过点向圆作两条切线，切点分别为，则弦所在直线的方程为 16. 如图,等腰梯形中, ,.一双曲线经过,三点,且以,为焦点,则该双曲线离心率是 _ . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. (本小题满分10分) 等比数列的前项和为，已知,成等差数列 （）求的公比； （）若，求 18. (本小题满分12分) 某高校在年的自主招生考试中随机抽取了名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组得到的频率分布直方图如图所示（）根据频率分布直方图计算出样本数据的众数和中位数；（结果保留位小数）（）为了能选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。（III）在（）的前提下，学校决定在这名学生中随机抽取名学生接受甲考官的的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率19.(本小题满分12分) 在中，（）求的值。 （）求的值。20(本小题满分12分) 如图所示, 平面,点在以为直径的上，点为线段的中点，点在上，且。（）求证: 平面平面;（）求证: 平面平面21.（本小题满分12分）已知点,圆,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.（）求的轨迹方程;（）当时,求的方程及的面积.22.(本小题满分12分) 设椭圆的离心率,左顶点到直线的距离,为坐标原点. （）求椭圆的方程;（）设直线与椭圆相交于两点,若以为直径的圆经过坐标原点,证明:点到直线的距离为定值;（III）在（）的条件下,试求的面积的最小值.云天化中学xx秋季学期xx届期末考试高 二 数 学 （理）参 考 答 案一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、 填空题 13. 14. 15. 16. 三、 解答题17. 解：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 5分 （）由已知可得 故 从而 10分18. 解：（1）众数为；中位数为（4分）（2）由题设可知，第三组的频率为0065=03第四组的频率为0045=02第五组的频率为0025=01第三组的人数为03100=30,第四组的人数为02100=20第五组的人数为01100=10,因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组第四组第五组所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人（8分）（3）设第三组的3位同学为,第四组的2位同学为，第五组的1位同学为则从6位同学中抽2位同学有：,共15种可能10分其中第四组的2位同学中至少1位同学入选有,，,，,共9种可能11分所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为12分19. 解：【解析】（1）解：在 中，根据正弦定理，于是6分（2）解：在 中，根据余弦定理，得于是=，从而12分20.证明: (1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OEPA.因为PA平面PAC，OE平面PAC，所以OE平面PAC.因为OMAC，又AC平面PAC，OM平面PAC，所以OM平面PAC.因为OE平面MOE，OM平面MOE，OEOMO，所以平面MOE平面PAC. 6分(2)因为点C在以AB为直径的O上，所以ACB90，即BCAC.因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC. 因为AC平面PAC，PA平面PAC，PAACA，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC. 12分21.解：(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. -6分(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以直线的斜率为-,故的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到直线的距离为,故|PM|=,所以POM的面积为.-12分22解：(1)解:由e=,得c=a,又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b.由左顶点M(-a,0)到直线+=1,即bx+ay-ab=0的距离d=,得=,即=,把a=2b代入上式,得=,解得b=1.所以a=2b=2,c=.所以椭圆C的方程为+y2=1. -4分(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB的斜率不存在时,由椭圆的对称性,可知x1=x2,y1=-y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点,故=0,即x1x2+y1y2=0,也就是-=0,又点A在椭圆C上,所以+=1,解得|x1|=|y1|=.此时点O到直线AB的距离d1=|x1|=.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆方程联立有消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以x1+x2=-,x1x2=.因为以AB为直径的圆过坐标原点O,所以OAOB.所以=x1x2+y1y2=0.所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.所以(1+k2)-+m2=0.整理得5m2=4(k2+1),所以点O到直线AB的距离d2=.综上所述,点O到直线AB的距离为定值.-8分（注：将直线方程令为，不对斜率是否存在进行分类也可以得出结论）(3)解:设直线OA的斜率为k0.当k00时,则OA的方程为y=k0x,OB的方程为y=-x,联立得同理可求得故AOB的面积为S=|x1|x2|=2.令1+=t(t1),则S=2=2,令g(t)=-+4=-9(-)2+(t1),所以4g(t).所以S1.当k0=0时,可求得S=1,故S1,故S的最小值为.-12分