2019-2020年高三数学一轮总复习 专题十六 算法、复数、推理与证明（含解析）.doc

2019-2020年高三数学一轮总复习 专题十六 算法、复数、推理与证明（含解析）抓住4个高考重点重点1 程序框图与基本算法语句1程序框图（1）概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形（2）基本的程序框和它们各自表示的功能如下表：（3）程序框图的三种基本结构(i)顺序结构 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构，其结构形式如图所示. (ii)条件结构在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，这种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为条件结构，其结构形式如图甲、乙所示： (iii)循环结构 在一些算法中，要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，即从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况反复执行的步骤称为循环体 循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构其结构形式分别如图所示： 2基本算法语句 （1）输入语句、输出语句和赋值语句 (i)输入语句、输出语句与赋值语句的一般格式 a输入语句的一般格式是 INPUT “提示内容”；变量 b输出语句的一般格式是 PRINT “提示内容”；表达式 IF 条件 THEN 语句体1ELSE 语句体2END IF c赋值语句的一般格式是 变量=表达式 (ii)输入语句、输出语句与赋值语句的功能 aINPUT语句的功能是对程序中的变量通过键盘赋值bPRINT语句的功能是输出表达式的值 （2）条件语句(i)算法中的条件结构由条件语句来表达，条件语句的一般格式是当计算机执行IF语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句体1，否则执行ELSE后的语句体2 .IF 条件 THEN 语句体END IF(ii)条件语句还有一种比较简单的格式：当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句体，否则执行END IF后的语句（3）循环语句算法中的循环结构是由循环语句来实现的，对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型( WHILE)和直到型(UNTIL)两种语句，即WHILE语句和UNTIL语句.WHILE 条件 循环体WEND (i) WHILE语句的一般格式是 当计算机执行WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复执行，直到某一次条件不符合为止，这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句因此当型循环有时也称为“前测试型”循环DO 循环体LOOP UNTIL 条件 (ii) UNTIL语句的一般格式是 当计算机执行UNTIL语句时，先执行DO后面的循环体，接着执行LOOP UNTIL语句，对该语句中的条件进行判断，如果不满足条件，就再去执行循环体，直到条件满足时，退出循环去执行LOOP UNTIL后面的语句高考常考角度角度1 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的i的值为（ ） A3 B4 C5 D6解析：本题主要考查考生对程序框图的识图能力因为该程序框图执行4次后结束，所以输出的i的值等于4故选B在求解输出结果的循环结构程序框图试题时，要把变量的变化规律弄清楚，按照其变化规律逐步进行计算，直到根据判断条件结束循环.角度2 某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ） A B C D解析：本题考查程序框图，第一次执行后，k=2，S=2 +2 =4；第二次执行后，k=3，S=8 +3 =11；第三次执行后，k=4，S=22 +4=26；第四次执行后，k=5，S=52 +5=57，此时结束循环，故判断框内填“k4?”故选A角度3 运行如图所示的程序，输出的结果是_.解析：本题主要考查基本算法语句a=l，b=2，把1与2的和赋给a，即a=3，输出的结果是3赋值语句是最重要的一种基本语句，也是一个程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句时，一定要注意其格式要求，如：赋值号左边只能是变量而不能是表达式；赋值号左右两边不能对换；不能利用赋值语句进行代数式计算等重点2 复数的概念与运算1解答复数的概念问题的方法（1）复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么这两个复数相等如果，那么，特别地，（2）共轭复数：当两个复数实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数设复数，则它的共轭复数为（3）复数的模：的模，也就是复数z在复平面内对应的点到原点的距离，即向量的模，其计算公式为显然，（4）复数的几何意义：复数集C和复平面内所有点的集合是等价的2复数的代数运算技巧（1）其中，由此可以看出i的运算具有周期性，其周期为4（2），对于含有或这样式子的高次乘方运算，可通过上述恒等式，转化成右边的形式，再进行运算复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再进一步化简高考常考角度角度1 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ） A. 2 B. C. D. 解析：方法一，设，则，所以.故选A.方法二，为纯虚数，所以角度2 为正实数，为虚数单位，则（ ）A2 B C D1解析：，故选B.重点3 归纳推理与类比推理1归纳推理的一般步骤（1）通过观察个别事物发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠2类比推理的一般步骤（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论高考常考角度角度1 设函数，观察：，根据上述事实，由归纳推理可得：当，且时， 。解析：方法一，以此类推可得。答案：方法二：本题考查归纳推理，考查由特殊示例归纳为一般结论的能力根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2，4，8，16，x的系数依次是l，3，7，15，则的分母中常数项为的系数为，故点评：归纳推理的关键是合乎情理，在推理的过程中要充分利用已经掌握的数学知识，对推理的过程和结论进行适时的调整，使推理得到的结论具有可靠性，当然，归纳推理所得到的结论有待进一步检验或论证角度2 在平面上，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为_.解析：本题考查类比推理，在平面几何中，面积比为相似比的平方；在立体几何中，体积比为相似比的立方由类比推理得，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8下面通过计算来验证假设两个正四面体的棱长分别为1和2，如图，正四面体ABCD的棱长为1，取BC的中点为，连结，作于，则 又在RtAOD中， 则同理可得棱长为2的正四面体的体积为,类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以，由解题方法上的类似引起，当然首先要在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等.重点4 数学归纳法1利用数学归纳法解决问题的步骤是：试值猜想证明， 基本形式为：设是个与正整数有关的命题，如果 当时，成立；假设当时，成立，由此推得当时，也成立，那么，根据知对一切正整数时，成立2用数学归纳法证明时需要注意的问题（1）上述两个步骤缺一不可，第一步是验证命题递推关系的基础，没有第一步，第二步就毫无意义；（2）第二步中在证明“当时命题成立”时，必须利用“当时命题成立”这一条件；（3）在第二步的证明中，“当时命题成立”相当于已知条件，而“当时命题成立”则是要求证的结果.因此在证明时，一般要先凑出归纳假设里给出的形式，然后再利用题给关系，凑出当时的结论.高考常考角度角度1已知的三边长都是有理数。（1）求证：是有理数；（2）求证：对任意正整数是有理数.解析：本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数.（2）用数学归纳法证明和都是有理数.当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数.假设当时，和都是有理数.当时，由，由和归纳假设，知和都是有理数.即当时，结论成立.综合、可知，对任意正整数是有理数.角度2已知函数 （）求函数的零点个数，并说明理由； （）设数列满足，证明：存在常数,使得对于任意的，都有.解析：（I）由知，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则。当时，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：，记，则.当时，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，综上所述，有且只有两个零点。（II）记的正零点为，即。（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立，则当时，由知，因此，当时，成立。故对任意的，成立。（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立，则当时，由知，因此，当时，成立。故对任意的，成立。综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.突破2个高考难点难点1 算法与其他知识的交汇解决算法与方程、不等式、函数、数列、统计等知识交汇的综合问题，其关键之处就是要熟悉所给算法的功能，并由此转化为方程、不等式、函数、数列、统计等相关的问题，这样就可以解决问题了.典例1 如图所示，给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值若要使输入的的值与输出的值相等，则这样的的值有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个解析：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数 的函数值（1）当时，令；（2）当时，令；（3）当时，令（舍去），故有3个值符合题意，故选C本题是一个分段函数与条件分支结构相结合的问题，综合了函数、方程等知识，解决此类问题的难点在于确定由条件分支结构给出的分段函数模型突破该难点的关键在于根据判断框确定分段的依据，根据流程线的方向确定其对应的函数解析式另外在求解方程时，应该注意解析式成立的前提，即自变量取值范围的限制.典例2 随机抽取某产品件，测得其长度分别为则如图所示的程序框图输出的_， 表示的样本的数字特征是_.解析：由程序框图得 输出的 所以表示的是样本的平均数典例3 如图所示的程序框图，最后输出的的值是_.解析：由题意得，当时，不成立；当时，不成立； 当时，不成立；当时，有，此时成立. 所以的值是5本题是一道算法与不等式交汇的综合问题，求解的难点在于如何根据程序框图确定符合条件的的值解决这一难点的方法是：逐个取的值，判断是否成立，第一个使成立的的值就是符合条件的的值难点2 反证法的应用技巧 反证法是一种反设结论导出矛盾的证明方法，其难点就是如何反设结论和导出矛盾，破解的方法是：反设的结论就是新的已知条件，和题目中的其他已知条件一起进行推理，通过对题目具体情况的分析找到导出矛盾的方向.典例1 已知求证： （1） （2）中至少有一个不小于解析：（1）因为所以（2）假设都小于，即 则由同向不等式性质，得这与矛盾，故原命题结论成立，即中至少有一个不小于典例2 已知若在上的最大值为最小值为.求证： 且 解析：（1）当时，由，得，显然由题意得在上是单调函数，所以的最大值为，最小值为由已知条件得与相矛盾，所以（2）当时，由二次函数的对称轴为直线，知在上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得所以 或 又，则此时无解，所以 由（1）（2）得 且 证明本题的难点：一是正确写出结论的否定形式；二是当结论的反面不是一种情况时，该如何证明，破解第一个难点，必须熟知命题“且”的否定是命题“或对本题而言，结论“ 且 ”的否定形式是” 或 ” 破解第二个难点，分 及进行讨论，并逐一推出矛盾.规避4个易失分点易失分点1 条件结构中对条件的判断不准典例 运行如图所示的程序框图，若输出的值的范围是，则输入的的范围是_易失分提示：本题容易出错的地方有两个：一是不清楚判断条件和函数值的对应关系，如把时对应的函数解析式写成或；二是对变量的分类错误，本题中对的分类为，分类时可能漏掉其端点值，也可能把写成等.解析：本题是计算分段函数 值的程序框图，若，由若，由；若，由，故输入的的范围是易失分点2 对循环结束的条件判断不准典例 如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行的结果为，则在判断框中应填人关于的判断条件是（ ） A B C D易失分提示： 本题容易出错的地方就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从开始按照递减的方式逐步进行，直到的输出结果为解析：第一次运行结果为第二次运行结果为第三次运行结果为故判断条件是故选C易失分点3 忽视类比的对应关系典例 若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积_易失分提示：没有把握住面与体的对应关系，只是照章学样，从而导致系数错误，或对边与面积的对应关系搞不清而导致错误解析：找出它们的相似可比性和对应关系，即可得出结果易失分点4 对数学归纳法的证明思想理解错误典例 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式成立易失分提示： 1证明“时命题也成立”的过程中，未能利用归纳假设 2利用归纳假设，对目标式进行化简时不能适当地放缩来实现解析：（1）当时，左边，右边，左边右边. （2）假设时不等式成立，即 那么当时，时不等式也成立由（1）（2）知，对一切大于1的自然数，不等式都成立.