2019-2020年高二数学下学期第一次月考试题 理(I).doc

2019-2020年高二数学下学期第一次月考试题 理(I)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A1|AB|,得P的轨迹为椭圆B由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2+y2=r2的面积r2,猜想出椭圆的面积S=abD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为( )A都是奇数 B都是偶数C中至少有两个偶数 D中至少有两个偶数或都是奇数6. 4. 若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在7. 已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)8. 函数yxex，x0,4的最小值为()A0 B. C. D.9. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个 C3个 D4个10. 函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )11. 已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为()A1 B0C1 D212. 已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A13 B15 C10 D15二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_14. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的个数是 。15. 已知，试通过计算，的值，推测出_.16. 已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）17. （10分）（1）. 求函数的极值.（2）.求由直线和曲线所围成的图形的面积.18. （12分）用分析法证明：若a0，则a2.(12分)19. （12分） 用数学归纳法证明： 12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)20. （12分） 已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间21. （12分）设函数f(x)xaln x(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由22. （12分） 已知函数f(x)lnx，g(x)(xa)2(lnxa)2.(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程；(2)若g(x)在1，)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)证明：g(x).宁夏育才中学孔德学区xx-2高二年级月考数学 试卷 (试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟) 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A1|AB|,得P的轨迹为椭圆B由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2+y2=r2的面积r2,猜想出椭圆的面积S=abD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B5. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为( )A都是奇数 B都是偶数C中至少有两个偶数 D中至少有两个偶数或都是奇数【答案】A6. 4. 若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B7. 已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)解析f(x)3x22ax(a6)，因为函数有极大值和极小值，所以f(x)0有两个不相等的实数根，所以4a243(a6)0，解得a3或a6.答案B8. 函数yxex，x0,4的最小值为()A0 B. C. D.解析yexxexex(x1)y与y随x变化情况如下：x0(0,1)1(1,4)4y0y0当x0时，函数yxex取到最小值0.答案A9. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个 C3个 D4个答案A10. 函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )【解析】选B.由图可得-1f(x)1，则切线斜率k(-1，1).11. 已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为()A1 B0C1 D2答案A解析方法一：因为f(x)3x22axb，函数f(x)的图像与x轴相切于原点，所以f(0)0，即b0，所以f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)因为函数f(x)的图像与x轴所围成区域的面积为，所以(x3ax2)dx，所以(x4ax3)，所以a1或a1(舍去)，故选A.方法二：因为f(x)3x22axb，函数f(x)的图像与x轴相切于原点，所以f(0)0，即b0，所以f(x)x3ax2.若a0，则f(x)x3，与x轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图像，排除B；若a1，则f(x)x3x2x2(x1)，与x轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图像，排除C；若a2，则所围成的面积为 (x32x2)dx(x4x3) ，排除D.故选A.12. 已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()A13 B15C10 D15解析：求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1，1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案：A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_答案2xy10解析y3x21，y|x131212.该切线方程为y32(x1)，即2xy10.14. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的个数是 。答案：_14_15. 已知，试通过计算，的值，推测出_.答案：16. 已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案2，1解析由题意知，点(1,2)在函数f(x)的图象上，故mn2.又f(x)3mx22nx，则f(1)3，故3m2n3.联立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）17. （10分）（1）. 求函数的极值.（2）.求由直线和曲线所围成的图形的面积.（1）解：.令，即，解得，.当变化时，的变化情况如下表：000/极小值因此，当时，有极小值，且.（2）解：联立，得，.所以，故所求面积.18. （12分） 用分析法证明：若a0，则a2.(12分)证明：要证a2，只需证2a.a0，两边均大于零，因此只需证（2）2（a）2，只需证a244a222（a），只需证（a），只需证a2（a22），即证a22，它显然是成立，原不等式成立.19. （12分） 用数学归纳法证明： 12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任何nN*都成立20. （12分） 已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间答案(1)a，b1(2)单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)解析(1)因为函数f(x)ax2blnx，所以f(x)2ax.又函数f(x)在x1处有极值，所以即解得(2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定义域是(0，)，且f(x)x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以函数yf(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)21. （12分）设函数f(x)xaln x(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由思路分析先求导，通分后发现f(x)的符号与a有关，应对a进行分类，依据方程的判别式来分类解析(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)1.令g(x)x2ax1，其判别式a24.当|a|2时，0，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根都小于0.在(0，)上，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根为x1，x2.当0xx1时，f(x)0，当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减(2)由(1)知，a2.因为f(x1)f(x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)，所以，k1a.又由(1)知，x1x21，于是k2a.若存在a，使得k2a，则1.即ln x1ln x2x1x2.由x1x21得x22ln x20(x21)(*)再由(1)知，函数h(t)t2ln t在(0，)上单调递增，而x21，所以x22ln x212 ln 10.这与(*)式矛盾故不存在a，使得k2a.22. （12分） 已知函数f(x)lnx，g(x)(xa)2(lnxa)2.(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程；(2)若g(x)在1，)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)证明：g(x).答案(1)yx1(2)a2(3)略解析(1)因为f(x)，所以f(1)1.故切线方程为yx1.(2)g(x)2(xa)，令F(x)xa，则yF(x)在1，)上单调递增F(x)，则当x1时，x2lnxa10恒成立，即当x1时，ax2lnx1恒成立令G(x)x2lnx1，则当x1时，G(x)0，故G(x)x2lnx1在1，)上单调递减从而G(x)maxG(1)2.故aG(x)max2.(3)证明：g(x)(xa)2(lnxa)22a22(xlnx)ax2ln2x，令h(a)2a22(xlnx)ax2ln2x，则h(a).令Q(x)xlnx，则Q(x)1，显然Q(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则Q(x)minQ(1)1.则g(x)h(a).