2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)历年真题

硕博考研 www.edufzu.com12009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1 ）函数 的可去间断点的个数，则（ D）3sinxf1. 2. 3. 无穷多个.ABC（2 ）当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）0xsifxax2ln1gbx. . . .1,6ab1,6b,6aD1,6ab（3 ）设函数 的全微分为 ，则点 （ ）zfxydzxy0不是 的连续点. 不是 的极值点. A,B,f是 的极大值点. 是 的极小值点.CfxyDxy（4 ）设函数 连续，则 （ ）, 22411, ,yxdfdfxd. . A241,xdfyB241,xf. .CDy（5 ） 若 不变号，且曲线 在点 上的曲率圆为 ，则 在区fx yfx,2xyfx间 内（ ）1,2有极值点，无零点. 无极值点，有零点. AB有极值点，有零点. 无极值点，无零点.CD（6 ）设函数 在区间 上的图形为：yfx1,3硕博考研 www.edufzu.com2则函数 的图形为（ ）0xFftdD. . A()f0 2 3 x1-2 -11 B()fx0 2 3 x1-2 -11. .C()fx0 2 3 x1-1 1 D()fx0 2 3 x1-2 -11（7 ） 设 、 均为 2 阶矩阵， 分别为 、 的伴随矩阵。若 ，则分块AB*AB， A=B，矩阵 的伴随矩阵为（ ）0. . A*320B*03A1()fx-2 0 2 3 x-1O硕博考研 www.edufzu.com3. .C*03A2BD*02A3B（8 ）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，若P， TPT10P=2，则 为（ ）=Q=+123123（ ， ， ） ， （ ， ， ） QAT. . A0B0. .C201D102二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9 ）曲线 在 处的切线方程为 2-x=0ln()utedytt（ ， 0）（10 ）已知 ,则 +1kxe（11 ） nlimsi0xd（12 ）设 是由方程 确定的隐函数，则 ()yy1ex2x=0dy（13 ）函数 在区间 上的最小值为 2x0，(14)设 为 3 维列向量， 为 的转置，若矩阵 相似于 ，则 ， TT20T=硕博考研 www.edufzu.com420三、解答题：1523 小题，共 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15 ） （本题满分 9 分）求极限 401cosln(1ta)limixxx（16 ） （本题满分 10 分）计算不定积分 l()dx(0)（17 ） （本题满分 10 分）设 ，其中 具有 2 阶连续偏导数，求 与,zfxyf dz2zxy（18 ） （本题满分 10 分）设非负函数 满足微分方程 ，当曲线 过原点时，其x020xyyx与直线 及 围成平面区域 的面积为 2，求 绕 轴旋转所得旋转体体积。1yD（19 ） （本题满分 10 分）求二重积分 ，xyd其中 22,1,Dxyy（20 ） （本题满分 12 分）设 是区间 内过 的光滑曲线，当 时，曲线上任一点处()-（ ， ） -2（ ， ） -0x的法线都过原点，当 时，函数 满足 。求 的表达式0x()yxy()y（21 ） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在f,ab,ab，使得,abfa（）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则x00,0limxfA硕博考研 www.edufzu.com5存在，且 。0f0fA（22 ） （本题满分 11 分）设 ，1421（）求满足 的所有向量22131,A3,（）对（）中的任一向量 ，证明： 线性无关。2,12（23 ） （本题满分 11 分）设二次型 223 3123,fxaxxx（）求二次型 的矩阵的所有特征值；f（）若二次型 的规范形为 ，求 的值。21y硕博考研 www.edufzu.com62008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1 ）设 ，则 的零点个数为（ ）2()1)(fxx()fx0 1. 2 3ABCD（2 ）曲线方程为 函数在区间 上有连续导数，则定积分 （ ）()yfx0,a0()atfxd曲边梯形 ABOD 面积.梯形 ABOD 面积.B曲边三角形 面积.CAD三角形 面积.（3 ）在下列微分方程中，以 （ 为任意常数）为通解123cosin2xyCeCx123,C的是（ ）A40yB40yyCyD（5 ）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）()fx,)nx若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.An(nfB()nfx硕博考研 www.edufzu.com7若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.C()nfxnxD()nfxnx（6 ）设函数 连续，若 ，其中区域 为图中阴影部分，则f 2()(,)uvDfxyFduvDFuA2()vfB2()vfuC（7 ）设 为 阶非零矩阵， 为 阶单位矩阵. 若 ，则（ ）AnEn30A不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.EBE可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. CD（8 ）设 ，则在实数域上与 合同的矩阵为（ ）12AA. .12B21. . CD21二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9 ） 已知函数 连续，且 ，则 .()fx20cos()lim1(xfe(0)_f（10 ）微分方程 的通解是 .2xyedyy（11 ）曲线 在点 处的切线方程为 .sinl0,1硕博考研 www.edufzu.com8（12 ）曲线 的拐点坐标为_.23(5)yx（13 ）设 ，则 .z(1,2)_z（14 ）设 3 阶矩阵 的特征值为 .若行列式 ，则 .A,3248A_三、解答题：1523 小题，共 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分 9 分）求极限 .40sinsinlmxx(16)（本题满分 10 分）设函数 由参数方程 确定，其中 是初值问题()yx20()ln1tyud()xt的解.求 .02xtde2x(17)（本题满分 9 分）求积分 .120arcsinxd(18)（本题满分 11 分）求二重积分 其中max(,),Dy(,)02,Dxyy(19)（本题满分 11 分）设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数，且 .对任意的()f0,(0)1f，直线 ，曲线 以及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周生成0,txt()yfxx一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 的表达式.()f(20)（本题满分 11 分）(1) 证明积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续，则至少存在一点 ，()fx,ab,ab使得 ()()bafxdfba硕博考研 www.edufzu.com9(2)若函数 具有二阶导数，且满足 ，证明至少存在一点()x32(2)1,()()xd(1,3)0使 得（21 ） （本题满分 11 分）求函数 在约束条件 和 下的最大值与最小值.22uxyz2zxy4z（22 ） （本题满分 12 分） 设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ，221naAa AXB1,Tnx，1,0B（1 ）求证 ；1nA（2 ） 为何值，方程组有唯一解，并求 ；a1x（3 ） 为何值，方程组有无穷多解，并求通解 .（ 23） （本题满分 10 分）设 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 特征向量，向量 满足A12,A,13，32（1 ）证明 线性无关；13,（2 ）令 ，求 .2P1PA硕博考研 www.edufzu.com102007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：110 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1 ）当 时，与 等价的无穷小量是0xx（A） （B） （C ） （D ） e1ln1x1cosx（2 ）函数 在 上的第一类间断点是 1()ta)exf,（A）0 （B）1 （C ） （D ）22（3 ）如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆()yfx3,周，在区间 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 ，则2,0 0()()dxFft下列结论正确的是：硕博考研 www.edufzu.com11（A） (B) 3()(2)4F5(3)(2)4F（C ） （D） （4 ）设函数 在 处连续，下列命题错误的是：()fx0（A）若 存在，则 （B）若 存在，则 .0limx()f0()limxfx(0)f（C ）若 存在，则 （D）若 存在，则 .()f0 （5 ）曲线 的渐近线的条数为1lnexy（A）0. （B ）1. （C）2. （D）3. （6 ）设函数 在 上具有二阶导数，且 ，令 ，则下列结论正确()f0,)()0fx()nuf的是： (A) 若 ，则 必收敛. (B) 若 ，则 必发散 12unu12un(C) 若 ，则 必收敛. (D) 若 ，则 必发散. u（7 ）二元函数 在点 处可微的一个充要条件是 (,)fxy0,（A） .(,)0,limxyf（B） .0 0(,)(,)(,0)li ,limx yf ff且（C ） .2(,)0,()(,)lixyffx硕博考研 www.edufzu.com12（D） .0 0lim(,)(0,),lim(,)(0,)xx yyffff 且（8 ）设函数 连续，则二次积分 等于y1sin2ddx（A） （B）10arcsind(,)dyfx 0arcsin(,)dyfx（C ） （D）2 12（9 ）设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是13,线性相关，则(A) (B) 1231,1231,(C) . (D) . 22（10 ）设矩阵 ，则 与 01,12ABAB(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上 .（11 ） _.30arctnsilimxx（12 ）曲线 上对应于 的点处的法线斜率为_.2o1sitty4t（13 ）设函数 ，则 _.3x()0ny（14 ） 二阶常系数非齐次微分方程 的通解为 _.23exyy（15 ） 设 是二元可微函数， ，则 _.(,)fuv,zfz（16 ）设矩阵 ，则 的秩为 . 01A3A三、解答题：1724 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.硕博考研 www.edufzu.com13（17 ） (本题满分 10 分)设 是区间 上单调、可导的函数，且满足 ，)fx0,4 ()100cosinddfxxttt其中 是 的反函数，求 .1f()fx（18 ） （本题满分 11 分）设 是位于曲线 下方、 轴上方的无界区域.D2(1,0)xayx（）求区域 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 ；(Va（）当 为何值时， 最小？并求此最小值.a()V（19 ） （本题满分 10 分）求微分方程 满足初始条件 的特解.2()yxy(1)y（20 ） （本题满分 11 分）已知函数 具有二阶导数，且 ，函数 由方程 所确定，()fu(0)f()yx1eyx设 ，求 .lnsizfyx200d,xxz（21 ） (本题满分 11 分)设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值，,(fg,ab(,)ab，证明：存在 ，使得 .()fa()fg（22 ） (本题满分 11 分)设二元函数 ，计算二重积分 ，其22,|11(, 2xyfxyxy D(,)dfxy中 .,|D（23 ） (本题满分 11 分) 设线性方程组 与方程 有公共解，求 的值及所有12312304xax1231xaa公共解.硕博考研 www.edufzu.com14（24 ） (本题满分 11 分)设三阶对称矩阵 的特征向量值 ， 是 的属于 的A123,T1(,)A1一个特征向量，记 ，其中 为 3 阶单位矩阵 . 534BE（I）验证 是矩阵 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；1B（II）求矩阵 . 2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（1 ）曲线 的水平渐近线方程为 sin52coxy（2 ）设函数 在 处连续，则 .2301id,(),xtfa 0xa（3 ）广义积分 .20(1)x（4 ）微分方程 的通解是 yx（5 ）设函数 由方程 确定，则 ()eyx0dxy（6 ）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则21AEB2AE.B二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.硕博考研 www.edufzu.com15（7 ）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处的增()yfx()0,()fxfx0x量， 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则 d与 0 0(A) . (B) .0ydy(C) . (D) . （8 ）设 是奇函数，除 外处处连续， 是其第一类间断点，则 是()fx0x0x0()dxft（A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数（C ）在 间断的奇函数 （D）在 间断的偶函数. （9 ）设函数 可微， ，则 等于()gx1()(e,(1)2gxhh()g（A） . （B）ln31ln3.（C） （D） 2（10 ）函数 满足的一个微分方程是21eexxy（A） （B）3. 23e.xy（C） （D） 2exy（11 ）设 为连续函数，则 等于(,)fx140d(cos,in)dfrr（） . （B） .2210d(,)xfy 2210(,xfy(C) .(D) . 2210(,)dyf 2210d(,)dyf（12 ）设 均为可微函数，且 ，已知 是 在约束条(,),fx与 ,yx0,)xy(,)fx件 下的一个极值点，下列选项正确的是 ,y(A) 若 ，则 . 0(,)xfy 0(,)yfx(B) 若 ，则 . 硕博考研 www.edufzu.com16(C) 若 ，则 . 0(,)xfy0(,)yfx(D) 若 ，则 . （13 ）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是 12,s nAmn(A) 若 线性相关，则 线性相关. s 12,s(B) 若 线性相关，则 线性无关. 12,s s(C) 若 线性无关，则 线性相关 . s 12,sA(D) 若 线性无关，则 线性无关. 12,s s（14 ）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的 倍加到第 2 列AB得 ，记 ，则C01P（） .（） .A 1CPA（） .（） .TP T三 、解答题：1523 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15 ） （本题满分 10 分）试确定 的值，使得 ，,ABC23e(1)1()xBCAxo其中 是当 时比 高阶的无穷小.3()ox03（16 ） （本题满分 10 分）求 .arcsinedx（17 ） （本题满分 10 分）设区域 ， 计算二重积分2(,)1,0Dxyx21d.Dxy（18 ） （本题满分 12 分）设数列 满足n110,sin(,2)硕博考研 www.edufzu.com17（）证明 存在，并求该极限；limnx（）计算 .21linxn（19 ） （本题满分 10 分）证明：当 时，0ab. si2cossin2cosaa（20 ） （本题满分 12 分）设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式()fu,)2zfxy.20zxy（I）验证 ；()fuf（II）若 ，求函数 的表达式. (1)0,1()fu（21 ） （本题满分 12 分）已知曲线 L 的方程2,(0)4xtty（I）讨论 L 的凹凸性；（II）过点 引 L 的切线，求切点 ，并写出切线的方程；(1,0)0(,)xy（III）求此切线与 L（对应于 的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积.（22 ） （本题满分 9 分）已知非齐次线性方程组 1234145xxab有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵 的秩 ；A2r（）求 的值及方程组的通解.,ab（23 ） （本题满分 9 分）设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为硕博考研 www.edufzu.com183,向量 是线性方程组 的两个解.TT12,0,10Ax()求 的特征值与特征向量；A()求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .QTQ