考研数学二

（一）求极限的方法,方法一、利用函数的连续性和极限的四则运算,方法二、利用两个重要极限,法则以及复合函数的连续性,方法三、方法一和方法二的联合使用,方法四、利用等价无穷小量代换,例1.33 设 n 为给定的自然数，,求,解,例1. 求下列极限：,提示:,则有,复习: 若,2. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),3. 求,解:,因为当 时，,所以,4. 设,求,解:,由题设可知,所以,因为当 时，,所以,即,5. 设数列,求,解,所以,（二）有关函数连续性的问题,例1.24 设（1）设函数 f (x) 在点x0连续，函数,g (x)在点x0不连续； （2）函数 f (x)和 g (x) 在点x0,都不连续.,问函数 f (x) + g (x)， f (x) g (x)在点 x0是,否连续？（见资料14页.）,例1.25 设,处处连续，,求 a，b的值.,解,当 时，,当 时，,于是,5. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,六、闭区间上连续函数连续的性质,定理1 在闭区间上连续的函数,最大值和最小值.,在该区间上一定有,定理2 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,即: 设,则,使,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,或在闭区间内有间断点，,（最值定理、有界定理、介值定理）,介值定理,定理 ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,定理 ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,使,至少有,推论:,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值 .,上连续 , 且恒为正 ,例1 设,在,对任意的,必存在一点,使,证明:,证: 令, 则,当,时,取,或, 则有,使,故由零点定理知 , 存在,即,证明至少,使,提示: 令,则,易证,例2 设,存在一点,使,故由零点定理知 , 存在,即,证明至少,使,提示: 令,则,易证,例3 设,存在一点,例4,至少有一个不超过 4 的正根 .,证明,证：,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,证 令,则给定,当,时,有,又,在-M, M 上连续，根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,例6 证明: 若,证明:,对于任意实数 x ,所以,由于对于任意实数 x , y 有,例1.52 设函数,在(a, b)内连续，,为任意 n 个正数，,且,求证：,使得,证明 令,在区间,则,所以函数,上连续.,令,则,即,由介值定理,使得,