2019-2020年高考数学 专题44 古典概型与几何概型的计算策略黄金解题模板.doc

2019-2020年高考数学 专题44 古典概型与几何概型的计算策略黄金解题模板【高考地位】古典概型与几何概型是高考中的常考知识点，对于古典概型，列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点；对于几何概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一 古典概型的计算策略使用情景：求古典概型的概率解题模板：第一步 判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是有限个；第二步 分别计算事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数；第三步 运用古典概型的计算公式计算即可得出结论.例1. 【xx天津耀华中学模拟】在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】所求概率为 ,选C.【变式演练1】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（ ）A B C D【答案】C考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【变式演练2】【xx广东兴宁沐彬中学模拟】“微信抢红包”自xx年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得总共情况有种，满足条件的有（2.28，1.83）（2.28，1.72）（2.28，1.55）（1.83，1.72）可以交换顺序，所以共8种，所以概率为，选B. 【变式演练3】【xx山东济南外国语学校模拟】某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 类型二 几何概型的计算策略使用情景：求几何概型的概率解题模板：第一步 判断试验是否是等可能的，其基本事件的个数是否是无限个；第二步 分别计算事件A和基本事件所包含的区域长度、面积或体积等；第三步 运用几何概型的计算公式计算即可得出结论.例2在区间上随机取一个数,使得成立的概率为 【答案】【解析】试题分析：，所求概率测度为长度，即考点：几何概型概率，绝对值不等式【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率例3. 【xx甘肃兰州第一中学模拟】九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【变式演练4】把长为的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于的概率是（ ）A B C D【答案】.【解析】试题分析：设把长为的铁丝随机截成三段的长度分别为x,y,80-x-y，则由题意知：，所以包含事件每段铁丝长度都不小于所表示的面积为，而基本事件所表示的平面区域的面积为，所以由古典概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于的概率，故应选.考点：几何概型.【变式演练5】一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）A B C D【答案】D考点：几何概型【变式演练6】【xx福建闽侯第四中学模拟】已知， 是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， 是上的两个随机数，则可由平面直角坐标系中点所确定的正方形表示所有满足题意的点组成概率空间，考查如下轨迹方程问题： 到点的距离等于其到直线的距离，由抛物线的定义可得，轨迹方程为，则满足题意的点位于如图所示的阴影区域，对求解定积分可得其面积为： ，据此可得，满足题意的概率值为.本题选择A选项. 点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可. 【高考再现】1. 【xx高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等. 2. 【xx高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.考点： 几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解3.【xx年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C考点：概率统计分析.【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用. 3. 【xx高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .【答案】【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为考点：古典概型概率 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.4. 【xx高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . 【答案】 5.【xx高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.6. 【xx江苏，7】 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是 .【答案】 【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是.【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率7. 【xx课标II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数 总计有25种情况，满足条件的有10种所以所求概率为【考点】古典概型概率【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.9. 【xx山东，理8】从分别标有，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A） （B） （C） （D）【答案】C 10. 【xx天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】试题分析：选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为.本题选择C选项.【考点】古典概型【名师点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式.11. .【xx山东，文】16(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.()若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；()若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.【答案】()；() ,共个，所以所求事件的概率为；（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：共个，包含但不包括的事件所包含的基本事件有共个，所以所求事件的概率为.【考点】古典概型【名师点睛】(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)求出事件A的概率,这是一个形象直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.【反馈练习】1. 【xx黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，四边形为正方形， 为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接， ，则向多边形中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2【xx河南漯河中学三模】在不等式组表示的平面区域内任取一个点，则 的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】所以概率为，故选C。3【湖南株洲两校联考】在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 点恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为点恰好落在第二象限的概率为故答案选4【xx江西宜春中学二模】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为A. B. C. D. 【答案】C 5【xx河南名校联考】现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，根据古典概型，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率.6【xx湖南五市十校教研教改共同体联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)，共9种；其中田忌的马获胜的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3种,则田忌获胜的概率为，故选：A.7【xx河北衡水第一中学模拟】2017年3月22日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热在此期间，俄罗斯某电视台记者， 在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D 8【xx贵州贵阳第一中模拟】某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，故选B.9. 【xx广西三校联考】老师计算在晚修19:00-20:00解答同学甲乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设19:00-20:00对应时刻，甲乙的问问题的时刻为，则两人独自去时不需要等待满足 概率为 ，选B.10. 【xx四川成都第七中学一诊模拟】在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得， ，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.11. 【xx贵州黔东南州联考】在中，角所对的边分别是，若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为，则满足条件的三角形恰有两解的概率是_【答案】 12. 【xx上海复旦大学附属中学模拟】从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则_【答案】